[論文レビュー] Congruences for Andrews' Smallest Parts Partition Function and New Congruences for Dyson's Rank

Frank Garvan|ArXiv.org|Oct 31, 2007

Advanced Mathematical Identities参考文献 22被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、ランクとクラankのモーメントの関係を活用し、半整数重みのヘッケ固有形式を応用することで、素数 ℓ = 11, 17, 19, 29, 31, 37 におけるアンドリュースの最小部分分割関数 spt(n) の新しいラマヌジャン型合同式を確立した。これは、ダイソンのランク関数についての非自明な明示的例を初めて提供し、ブリンマンとオノによる無限個の合同式の予想を、モジュラー形式とヘッケ作用素に基づく構成的手段によって裏付けた。

ABSTRACT

Let spt(n) denote the total number of appearances of smallest parts in the partitions of n. Recently, Andrews showed how spt(n) is related to the second rank moment, and proved some surprising Ramanujan-type congruences mod 5, 7 and 13. We prove a generalization of these congruences using known relations between rank and crank moments. We obtain explicit Ramanujan-type congruences for spt(n) mod p for p = 11, 17, 19, 29, 31 and 37. Recently, Bringmann and Ono proved that Dyson's rank function has infinitely many Ramanujan-type congruences. Their proof is non-constructive and utilizes the theory of weak Maass forms. We construct two explicit nontrivial examples mod 11 using elementary congruences between rank moments and half-integer weight Hecke eigenforms.

研究の動機と目的

• ランクとクラankのモーメントの既知の関係を用いて、1−24n が ℓ で平方非剰剰である場合に限り有効な、spt(n) に対する一般化された合同式を導出すること。
• 24分の1のディーデキントのエータ関数の23乗と、半整数重みヘッケ固有形式との関係を用いて、spt(11n+6) を mod 11 で分析すること。
• モジュラー形式に対してヘッケ作用素 U₀,ₗ* を適用し、特に ℓ = 37 の場合に合同条件を特定すること。
• 弱マース形式の理論と η(24τ)¹³ のモジュラー性を活用して、spt(11·19⁴·n + 22006) ≡ 0 (mod 11) の合同式を確立すること。
• ランクモーメントの母関数を半整数重みヘッケ固有形式で表現することで、ランク関数 N(r,11,n) の mod 11 における明示的合同式を構成すること。
• トレネルの結果（任意の素数 Q に対して T(Q²) が半整数重み形式を mod ℓ で消滅させるようなものが存在する）を用いて、spt(n) が mod ℓ で無限個のラマヌジャン型合同式を満たすことを証明すること。

提案手法

• 1−24n が ℓ で平方非剰である場合に限り有効な、ランクとクラankのモーメントの既知の関係を用いて、spt(n) に対する一般化された合同式を導出する。
• 24分の1のディーデキントのエータ関数の23乗と、半整数重みヘッケ固有形式との関係を用いて、spt(11n+6) を mod 11 で分析する。
• モジュラー形式に対してヘッケ作用素 U₀,ₗ* を適用し、特に ℓ = 37 の場合に合同条件を特定する。
• 弱マース形式の理論と η(24τ)¹³ のモジュラー性を活用して、spt(11·19⁴·n + 22006) ≡ 0 (mod 11) の合同式を確立する。
• ランクモーメント母関数を半整数重みヘッケ固有形式で表現することで、ランク関数 N(r,11,n) の mod 11 における明示的合同式を構成する。
• 半整数重み形式を mod ℓ で消滅させるような素数 Q が存在することを示すトレネルの結果を用いて、spt(n) が mod ℓ で無限個の合同式を満たすことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 spt(n) のラマヌジャン型合同式は、5, 7, 13 を超えて、他の素数 ℓ に対しても拡張可能か？
• RQ2 非構成的証明に依存せず、ランク関数の合同式の明示的非自明な例を構成することは可能か？
• RQ3 spt(n) の母関数とヘッケ固有形式との間には、モジュラー形式的メカニズムが存在するか？
• RQ4 24d ≡ 1 (mod ℓ) のとき、ランク差の母関数は、既知の ℓ = 5, 7, 11, 13 の結果を拡張してモジュラー形式のままであるか？
• RQ5 ヘッケ固有形式とモジュラー形式を用いた構成的手段により、spt(n) が ℓ > 3 に対して無限個の合同式を満たすことが示せるか？

主な発見

• 論文は、母関数が mod 11 で半整数重みヘッケ固有形式と合同であることを示すことにより、明示的合同式 spt(11·19⁴·n + 22006) ≡ 0 (mod 11) を証明した。
• 論文は、11 におけるランク関数の最初の明示的非自明な例を確立した：すべての 0 ≤ r ≤ 10 に対して、N(r,11,5⁴·11·19⁴·n + 4322599) ≡ 0 (mod 11) および N(r,11,11²·19⁴·n + 172904) ≡ 0 (mod 11) が成り立つ。
• ℓ = 37 の場合、生成関数 ∑spt(37n+17)q²⁴ⁿ⁺¹¹ は mod 37 で半整数重みカスプ形式 G₃₇(τ) = η¹¹(24τ)E₄²(24τ)E₆(24τ) と合同であり、これはヘッケ固有形式である。
• 論文は、spt(n) が ℓ > 3 に対して無限個のラマヌジャン型合同式を満たすことを確認した。これは、spt(ℓQ⁴n + μ) ≡ 0 (mod ℓ) が正の割合の素数 Q に対して成り立つことによって示された。
• 24d ≡ 1 (mod ℓ) のとき、ランク差の母関数が mod ℓ で半整数重みカスプ形式の和と合同であることを証明し、既知の結果をすべての素数 ℓ > 3 にまで拡張した。
• 2 ≤ 2k ≤ ℓ−3 のとき、∑spt(ℓn + βₗ)q²⁴ⁿ⁺ʳˡ ≡ ηʳˡ(24τ)Gₗ,₂ₖ(24τ) (mod ℓ) が成り立つ。ここで Gₗ,₂ₖ はレベル1のモジュラー形式の和であり、これは合同式の一般枠組みを提供する。