[論文レビュー] Congruences involving Franel and Catalan-Larcombe-French numbers

Zhi-Hong Sun|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2015

Advanced Mathematical Identities参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

本論文は、超幾何恒等式およびモジュラー形式を用いて、素数を法とするFranel数とCatalan-Larcombe-French数に関する新しい合同式を確立する。特定の重み付き和が、$ p = x^2 + 5y^2 $ や $ p = x^2 + 15y^2 $ といった二次形式による $ p $ の表現に依存することを証明し、Sun（2013）の先行予想の部分的解決を達成する。

ABSTRACT

Let $\{f_n\}$ be the Franel numbers given by $f_n=\sum_{k=0}^n\binom nk^3$, and let $p>5$ be a prime. In this paper we mainly determine $\sum_{k=0}^{p-1} \binom{2k}k\frac{f_k}{m^k}\pmod p$ for $m=5,-16,16,32,-49,50,96$. Let $S_n=\sum_{k=0}^n\binom nk\binom{2k}k\binom{2n-2k}{n-k}$. We also determine $\sum_{k=0}^{p-1} \binom{2k}k\frac{S_k}{m^k}\pmod p$ for $m=7,16,25,32,64,160,800,1600, 156832$.

研究の動機と目的

• 素数 $ p > 5 $ に対して、Franel数 $ f_n = inom{n}{k}^3 $ を法とする合同式に関する予想を解決すること。特に、$ extstyleinom{2k}{k} f_k / m^k $ の形をした和を対象とする。
• Catalan-Larcombe-French数 $ S_n $ に関する和、すなわち $ extstyleinom{n}{k} inom{2k}{k} inom{2n-2k}{n-k} $ を法とする結果を拡張すること。
• このような和と、$ p = x^2 + dy^2 $ の形での素数の表現との間の関係を、特に $ d = 5, 15, 6, 7, 11, 19, 43, 67, 163 $ に対して、Legendre記号の条件を通じて確立すること。
• 特定の超幾何型の和が、$ p $ が特定の虚二次体で分解するかどうかに応じて、$ 4x^2 $ または $ 0 $ に等しくなることを証明すること。
• Apéryに類似する数列に関する以前の結果を一般化し、母関数とモジュラー恒等式を用いた統一的枠組みを提供すること。

提案手法

• Franel数と超幾何項を結びつける重要な恒等式を導出：$ extstyleinom{2k}{k} ig( rac{m}{(m+8)^2} ig)^k f_k riangleq inom{2k}{k}^2 inom{3k}{k} ig( rac{m}{(m+4)^3} ig)^k mod p $。
• モジュラー形式の理論と超幾何変換を適用し、$ k = 0 $ から $ p-1 $ までの和を $ p $ の類数条件に関連付ける。
• Legendre記号 $ ig( rac{D}{p} ig) $ を用いて、$ p $ が $ ext{Q}( ext{--}D) $ で分解するかどうかを特定し、その結果として和の値を決定する。
• 母関数 $ C_k(t) $ と $ S_n(x) $ を用いて和の構造を一般化し、Domb数やAlmkvist-Zudilin数といった既知の数列と関連付ける。
• Sun（2013）およびJarvis-Verrill（2003）の既知の定理を応用し、和を $ p $ を法とする既知の合同式に還元する。特に $ ext{mod } p^2 $ の結果を活用する。
• 恒等式 $ extstyleinom{2k}{k} rac{f_k}{m^k} mod p $ を用いて、和を $ p $ が $ x^2 + dy^2 $ の形に表現可能かどうかに依存する形に還元する。ただし $ d eq 1 $ とする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの整数 $ m eq 0 $ に対して、$ p = x^2 + dy^2 $ のとき、和 $ extstyleinom{2k}{k} rac{f_k}{m^k} mod p $ が $ x^2 $ の形に表現可能となるか？
• RQ2 $ d = 7, 11, 19, 43, 67, 163 $ のとき、和 $ extstyleinom{2k}{k} rac{S_k}{m^k} mod p $ が $ \text{Q}(\text{--}d) $ における $ p $ の分解挙動によって完全に決定可能か？
• RQ3 恒等式 $ extstyleinom{2k}{k} ig( rac{m}{(m+8)^2} ig)^k f_k riangleq inom{2k}{k}^2 inom{3k}{k} ig( rac{m}{(m+4)^3} ig)^k mod p $ が、すべての $ m ot riangleq 0, -8, -4 mod p $ に対して成り立つか？
• RQ4 $ p = x^2 + 7y^2 $ かつ $ ig( rac{-15+4t}{p} ig) = 1 $ のとき、和 $ extstyleinom{2k}{k} rac{C_k(t)}{(4t - 4n)^k} mod p $ は $ 4x^2 $ に等しいか？
• RQ5 予想 $ extstyleinom{2k}{k} rac{C_k}{(n-12)^k} mod p^2 riangleq ig( rac{n(n-12)}{p} ig) extstyleinom{2k}{k} inom{3k}{k} inom{6k}{3k} / n^{3k} mod p^2 $ が $ n eq 0, 12 $ に対して検証可能か？

主な発見

• 素数 $ p > 5 $ に対して、$ extstyleinom{2k}{k} rac{f_k}{(-16)^k} mod p riangleq 4x^2 $ が成り立ち、$ p = x^2 + 9y^2 $ のときであり、$ p riangleq 3 mod 4 $ のときは $ 0 $ である。
• $ m = 16 $ のとき、$ extstyleinom{2k}{k} rac{f_k}{16^k} mod p riangleq 4x^2 $ が成り立ち、$ p = x^2 + 5y^2 $ のときであり、$ p riangleq 2 mod 3 $ のときは $ 0 $ である。
• $ m = 5 $ のとき、$ extstyleinom{2k}{k} rac{f_k}{5^k} mod p riangleq 4x^2 $ が成り立ち、$ p = x^2 + 15y^2 $ かつ $ x, y eq 0 mod p $ のときである。
• $ m = 32 $ のとき、$ extstyleinom{2k}{k} rac{f_k}{32^k} mod p riangleq 4x^2 $ が成り立ち、$ p = x^2 + 6y^2 $ のときであり、それ以外の場合は $ 0 $ である。
• $ extstyleinom{2k}{k} rac{S_k}{m^k} mod p $ の和は、$ p = x^2 + 7y^2 $ かつ $ p riangleq 1,2,4 mod 7 $ のとき $ 4x^2 $ であり、それ以外の場合は $ 0 $ である。
• $ m = 160080 $ のとき、$ extstyleinom{2k}{k} rac{C_k(t)}{(4t - 640320)^k} mod p riangleq x^2 $ が成り立ち、$ p = x^2 + 163y^2 $ かつ $ ig( rac{p}{163} ig) = 1 $ のときであり、それ以外の場合は $ 0 $ である。