[論文レビュー] Congruences Involving Multiple Harmonic Sums and Finite Multiple Zeta Values

Jianqiang Zhao|arXiv (Cornell University)|Apr 14, 2014

Advanced Mathematical Identities参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、素数のべき $ p^r $ と互いに素な整数に対する多重調和和について、新たな超合同式を確立する。$ n = 2 $ または $ 4 $ の場合、和 $ \sum_{i_1+\cdots+i_n=p^r,\, i_j\in\mathfrak{P}_p} \frac{1}{i_1\cdots i_n} \equiv -\frac{n!}{n+1}p^r B_{p-n-1} \pmod{p^{r+1}} $ が成り立つことを証明する。さらに、高次のケースではベルヌーイ数によって生成される有限多重ゼータ値が関与すると予想し、PSLQに基づく数値的証拠によって裏付けられる。

ABSTRACT

Let $p$ be a prime and ${\mathfrak P}_p$ the set of positive integers which are prime to $p$. Recently, Wang and Cai proved that for every positive integer $r$ and prime $p>2$ $$ \sum_{\substack{i+j+k=p^r\\ i,j,k\in{\mathfrak P}_p}} \frac1{ijk} \equiv -2p^{r-1} B_{p-3} \pmod{p^r}, $$ where $B_{p-3}$ is the $(p-3)$-rd Bernoulli number. In this paper we prove the following analogous result: Let $n=2$ or $4$. Then for every positive integer $r\ge n/2$ and prime $p>4$ $$ \sum_{\substack{i_1+\cdots+i_n=p^r\\ i_1,\dots,i_n\in{\mathfrak P}_p}} \frac1{i_1i_2\cdots i_n} \equiv -\frac{n!}{n+1} p^{r} B_{p-n-1} \pmod{p^{r+1}}. $$ Moreover, by using integer relation detecting tool PSLQ we can show that generalizations with larger integers $n$ should involving finite multiple zeta values generated by Bernoulli numbers.

研究の動機と目的

• 三重調和和の既存の合同式を、素数のべきを法とする高次の多重調和和へ一般化すること。
• $ n=2 $ および $ n=4 $ の場合、$ p^r B_{p-n-1} $ を含む合同式を $ p^{r+1} $ を法として超合同式として確立し、$ n=3 $ の既知の結果を拡張すること。
• 高次の調和和の合同式における有限多重ゼータ値（FMZVs）の構造的役割を調査すること。
• PSLQアルゴリズムを用いて、大きな $ n $ に対して調和和とベルヌーイ数の積の間の代数的関係を数値的に検出すること。
• $ R_n^{(m)}(p) $、つまり $ mp $ に等しい $ n $-重の和をとる和の代数的構造についての予想を提示し、それをFMZVおよび $ \mathcal{A} $-ベルヌーイ数の積の観点から支持すること。

提案手法

• $ n=4 $ に対して特に、対称性と代数的変形を用いて、制限されたインデックスの入れ子和に $ T_n(p,r) $ を還元する。
• 包含除算法を適用し、$ p $ を法とする合同条件に基づいて $ \sigma(p^r) $ の和を部分和に分解し、インデックスが $ p $ で割り切れるかどうかのケースを区別する。
• $ p $-制限付き多重調和和（MHS）とそのスツル関係を用いて、代数的構造と合同性の性質を分析する。
• 大規模な $ n $ に対して、調和和の値とベルヌーイ数の積の間の整数関係を検出するためにPSLQアルゴリズムを用い、予想的な一般化を可能にする。
• 有限多重ゼータ値（FMZVs）の代数的枠組みを $ \mathcal{A} $ の環で導入し、$ \zeta_{\mathcal{A}}(s_1,\dots,s_d) $ を $ \mathcal{H}_p(s_d,\dots,s_1) $ の $ \mathcal{A} $-極限として特定する。
• $ \mathcal{A} $-ベルヌーイ数 $ \beta_w = (B_{p-w}/w)_{p>w+2} $ を定義し、その積を用いて $ R_n^{(m)}(p) $ の予想的構造を生成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 三重調和和の超合同式は、$ n > 3 $ の高次の多重調和和へ一般化可能か？
• RQ2 $ n=2,4 $ の場合、和 $ \sum_{i_1+\cdots+i_n=p^r,\, i_j\in\mathfrak{P}_p} \frac{1}{i_1\cdots i_n} $ が $ p^{r+1} $ を法として正確にどのような代数的構造を持つのか？
• RQ3 有限多重ゼータ値（FMZVs）と $ \mathcal{A} $-ベルヌーイ数は、多重調和和の合同構造とどのように関係しているか？
• RQ4 PSLQアルゴリズムは、分母が大きくても $ n \geq 6 $ の超合同式における有理係数を検出可能か？
• RQ5 $ \mathcal{A} $-値の和 $ R_n^{(m)}(p) $ は、常に全重み $ n $ の $ \mathcal{A} $-ベルヌーイ数の積で生成される $ \mathbb{Q} $-ベクトル空間に含まれるか？

主な発見

• $ n=2 $ および $ n=4 $ の場合、すべての素数 $ p > 4 $ および $ r \geq n/2 $ に対して、和 $ T_n(p,r) \equiv -\frac{n!}{n+1}p^r B_{p-n-1} \pmod{p^{r+1}} $ が成り立つ。
• $ n=4 $ の場合、包含除算法による3つの部分和 $ s_I, s_{II}, s_{III} $ への分解により証明される。$ s_{I} $ および $ s_{II} $ は $ p^{2r+1} $ を法として消えることが示され、$ s_{III} $ が支配的項となる。
• PSLQを用いた数値的証拠により、$ n=6 $ の場合、和 $ \sum \frac{1}{i_1\cdots i_6} \equiv c_6 p^2 B_{p-7} \pmod{p^3} $ が成り立ち、$ c_6 \in \mathbb{Q} $ であり、$ c_6 $ の分子および分母がともに60桁を超えることが示唆される。
• $ R_n^{(m)}(p) \in \mathsf{BN}_n $、すなわち全重み $ n $ の $ \mathcal{A} $-ベルヌーイ数の積の $ \mathbb{Q} $-線形包への属性に関する予想は、$ n=12 $ まで検証された事例によって支持される。
• 予想7.2は、$ R_{11}^{(m)}(p) $ および $ R_{12}^{(m)}(p) $ を $ p $ を法として明示的な式で与え、$ B_{p-3}, B_{p-5}, B_{p-9}, B_{p-11} $ および二項係数の積を含む。
• $ R_n^{(m)}(p) $ の構造は、有限多重ゼータ値を用いて表現可能であり、$ \zeta_{\mathcal{A}}(s_1,\dots,s_d) $ は $ p $-制限付き調和和の $ \mathcal{A} $-極限を捉える。