[論文レビュー] Congruences on completely inverse $AG^{**}$-groupoids

Wiesław A. Dudek, Roman S. Gigoń|arXiv (Cornell University)|May 25, 2013

Fuzzy and Soft Set Theory参考文献 4被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、完全逆 $AG^{**}$-群小とは、$xx^{-1} = x^{-1}x$ を満たす $AG^{**}$-群小である。この場合、グリーンの関係 $Γ}$、$Γ}$、$Γ}$、$Γ}$、$Γ}$ が一致し、$Γ}$ が最小の半畳代数的合同関係であり、最大の冪等元分離合同関係であることを確立する。構造は、$AG$-群の半畳代数的構造であることが示され、核および商構成への応用が与えられる。

ABSTRACT

By a completely inverse $AG^{**}$-groupoid we mean an inverse $AG^{**}$-groupoid $A$ satisfying the identity $xx^{-1}=x^{-1}x$, where $x^{-1}$ denotes a unique element of $A$ such that $x=(xx^{-1})x$ and $x^{-1}=(x^{-1}x)x^{-1}.$ We show that the set of all idempotents of such groupoid forms a semilattice and the Green's relations $\mathcal{H,L, R,D}$ and $\mathcal{J}$ coincide on $A$. The main result of this note says that any completely inverse $AG^{**}$-groupoid meets the famous Lallement's Lemma for regular semigroups. Finally, we show that the Green's relation $\mathcal{H}$ is both the least semilattice congruence and the maximum idempotent-separating congruence on any completely inverse $AG^{**}$-groupoid.

研究の動機と目的

• 完全逆 $AG^{**}$-群小、すなわち $xx^{-1} = x^{-1}x$ を満たす非結合的群小のクラスにおける合同関係を特徴づけること。
• ラレマンの補題をこのクラスに拡張し、正則半群論の結果を一般化すること。
• このような構造においてグリーンの関係 $Γ}$、$Γ}$、$Γ}$、$Γ}$、$Γ}$ が一致することを示すこと。
• $Γ}$ が最小の半畳代数的合同関係であり、最大の冪等元分離合同関係であることを証明すること。
• 商構造 $A/\mathcal{H}$ が冪等元の半畳代数的構造 $E_A$ に同型であることを記述すること。

提案手法

• $AG^{**}$-群小における構造的性質を導出するために、中間法則 $ab\cdot cd = ac\cdot bd$ とパラ中間恒等式 $ab\cdot cd = db\cdot ca$ の使用。
• 与えられた恒等式の下で、冪等元の集合 $E_A$ が半畳代数的構造をなすことを証明すること。
• すべての $a \in A$ に対して $aA = Aa = L(a) = R(a) = J(a)$ が成り立つことの確立により、グリーンの関係が等しいことを示すこと。
• $Γ}$-類が唯一の冪等元を持つ $AG$-群であり、$Γ}$-類と $E_A$ の間に一対一対応があることを示すこと。
• 零元 $e \in E_A$ に対して、$\varphi: A \to eA$ を定義し、$eA$ が $AG$-群の核であることを示す。
• 最小の $AG$-群合同関係 $\sigma = \{(a,b) : ea = eb\}$ の定義と、$A/\sigma \cong \mathcal{H}_e$ の同型性の証明。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全逆 $AG^{**}$-群小において、ラレマンの補題は成り立つか？
• RQ2 完全逆 $AG^{**}$-群小において、グリーンの関係 $Γ}$、$Γ}$、$Γ}$、$Γ}$、$Γ}$ は一致するか？
• RQ3 $Γ}$ は任意の完全逆 $AG^{**}$-群小における最小の半畳代数的合同関係か？
• RQ4 $Γ}$ はこのような群小における最大の冪等元分離合同関係か？
• RQ5 商 $A/\mathcal{H}$ の構造は何か？ そして、冪等元の半畳代数的構造とはどのように関係するか？

主な発見

• 任意の完全逆 $AG^{**}$-群小において、グリーンの関係 $Γ}$、$Γ}$、$Γ}$、$Γ}$、$Γ}$ が一致する。
• 冪等元の集合 $E_A$ は半畳代数的構造をなし、$A/\mathcal{H} \cong E_A$ である。
• $Γ}$ は $A$ 上の最小の半畳代数的合同関係であり、より小さい半畳代数的合同関係は存在しない。
• $Γ}$ は最大の冪等元分離合同関係であり、より大きな合同関係で冪等元を分離することはできない。
• 各 $Γ}$-類は $AG$-群であり、$A$ は $E_A$ によって添え字づけられた $AG$-群の半畳代数的構造である。
• もし $e \in E_A$ が零元であれば、$Γ}_e = eA$ は $A$ の $AG$-群核であり、写像 $a \mapsto ea$ は $Γ}_e$ へのエピモルフィズムである。