[論文レビュー] Conic divisorial ideals of Hibi rings and their applications to non-commutative crepant resolutions

Akihiro Higashitani, Yusuke Nakajima|arXiv (Cornell University)|Feb 23, 2017

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 37被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、部分順序集合に基づくHibi環における円錐的除法イデアルを特徴づけ、ランク1の最大コhen＝マコーレイモジュールを特定するための組合せ的基準を提供する。この特徴づけを用いて、著者たちは多項式環のセグレ積に対して非可換なクレパント解体（NCCRs）を構成し、変異操作を用いて追加のNCCRsを生成し、分割可能なNCCRsの完全な交換グラフを確立する。

ABSTRACT

In this paper, we study divisorial ideals of a Hibi ring which is a toric ring arising from a partially ordered set. We especially characterize the special class of divisorial ideals called conic using the associated partially ordered set. Using our description of conic divisorial ideals, we also construct a module giving a non-commutative crepant resolution (= NCCR) of the Segre product of polynomial rings. Furthermore, applying the operation called mutation, we give other modules giving NCCRs of it.

研究の動機と目的

• Hibi環における円錐的除法イデアルを、その背後にあるposetの組合せ論的構造を用いて分類すること。
• 多項式環のセグレ積に対して、円錐的除法イデアルを用いて非可換クレパント解体（NCCRs）を構成すること。
• 既存のNCCRsに対して変異操作を適用することで、新たなNCCRsを生成し、同一の環における分割可能なNCCRsの完全な交換グラフを明らかにすること。
• 与えられたクラスのトーリック環に対して、すべての分割可能なNCCRsの有限かつ組合せ的に明示的な記述を提供すること。

提案手法

• Hibi環の除法イデアルを、クラス群 Cl(R) ≅ Z^{n−d} を通じて Z^{n−d} の元として表現する。ここで n と d は、posetのハッセ図から得られる。
• 実数点 x ∈ M_R における写像 σ: M_R → R^n の像を丸めたものから得られる除法イデアルを円錐的除法イデアルと定義する。すなわち T(a) = T(⌈σ(x)⌉) である。
• 円錐的イデアルが十分大きな m に対して R^{1/m} の和因子に正確に対応することを用い、End_R(R^{1/m}) を通じてNCCRsを構成する。
• 重み格子に属する文字χ, λ に対して、μ±_{χ,λ} 変異操作をモジュールに適用し、既存のNCCRsから新たなNCCRsを生成する。
• 反復的に変異操作を適用することで、頂点が除法イデアルの直和に対応し、辺が変異遷移を表す、分割可能なNCCRsの交換グラフを構築する。
• すべての結果モジュールが最大コhen＝マコーレイであり、かつ有限グローバル次元を持つことを確認することで、すべてのモジュールが有効なNCCRsであることを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Hibi環におけるどの除法イデアルが円錐的であり、そのposet構造を用いた組合せ的特徴づけはどのように行えるか？
• RQ2 円錐的除法イデアルを用いて、多項式環のセグレ積に対して非可換クレパント解体（NCCRs）をどのように構成できるか？
• RQ3 同じ環に対して異なるNCCRsを結ぶ変異グラフの構造はどのようなものか？
• RQ4 セグレ積のすべての分割可能なNCCRsは、ある初期のNCCRから反復的な変異操作によって生成可能か？
• RQ5 分割可能なNCCRの変異が、依然として分割可能なNCCRのままであるための条件は何か？

主な発見

• Hibi環における円錐的除法イデアルは、σ による像が Z^n に丸められる M_R の点と一対一対応し、完全な組合せ的特徴づけが得られる。
• 次元 t の r 個の多項式環のセグレ積に対して、r=2, t=3 のとき、L = {(0,0), (1,0), (0,1), (1,1)} とおくと、M_L = ⊕_{η∈L} M_η が分割可能なNCCRを与える。
• 変異操作 μ+_{χ,λ} および μ−_{χ,λ} は、既存のNCCRsから新たなNCCRsを生成し、r=2, t=3 の場合、複数の頂点が変異エッジで接続された交換グラフを形成する。
• 変異プロセスは分割性と有限グローバル次元を保ち、すべての結果モジュールが有効なNCCRsであることを保証する。
• NCCRsの交換グラフは有限であり、明示的に計算可能であり、各頂点は除法イデアルの直和に対応し、辺は変異遷移を表す。
• 変異によって構成されたすべてのNCCRsは分割可能であり、すべての族は単一の初期の分割可能なNCCRから反復的変異によって生成される。