[論文レビュー] Conic Martingales from Stochastic Integrals

Frédéric Vrins, Monique Jeanblanc|arXiv (Cornell University)|Mar 24, 2016

Stochastic processes and financial applications参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、時間に依存する境界内で進化するがマルティンググール性を保つ確率過程、すなわち円錐型マルティンググール（conic martingales）を導入する。ガウス型拡散過程を有界かつ可逆な関数で写像することにより、[0,1] 上で解析的に取り扱えるマルティンググールを構築し、時間に依存しないガウス写像のもとで、特定の過程 $ \sigma(t,y) = g(t)h(y)$ が唯一のこのような過程であることを証明した。これにより、生存確率などの有界な金融数量の一貫したモデル化が可能となる。

ABSTRACT

In this paper we introduce the concept of conic martingales}. This class refers to stochastic processes having the martingale property, but that evolve within given (possibly time-dependent) boundaries. We first review some results about the martingale property of solution to driftless stochastic differential equations. We then provide a simple way to construct and handle such processes. Specific attention is paid to martingales in $[0,1]$. One of these martingales proves to be analytically tractable. It is shown that up to shifting and rescaling constants, it is the only martingale (with the trivial constant, Brownian motion and Geometric Brownian motion) having a separable coefficient $σ(t,y)=g(t)h(y)$ and that can be obtained via a time-homogeneous mapping of Gaussian diffusions. The approach is exemplified to the modeling of stochastic conditional survival probabilities in the univariate (both conditional and unconditional to survival) and bivariate cases.

研究の動機と目的

• 数学的ファイナンスにおける、特に[0,1] に制限された条件付き生存確率のための、取り扱いやすく有界なマルティンググールモデルの不足を解消すること。
• 境界が指定された範囲に留まるマルティンググールを体系的に構築する方法を開発し、標準モデルで確率が1を超える問題を回避すること。
• 時間に依存しないガウス写像から生じる、可分型ボラティリティ $\sigma(t,y) = g(t)h(y)$ を持つ唯一の円錐型マルティンググールの特定と特徴付けを行うこと。
• シフトされたOrnstein-Uhlenbeck型やCIR++型のような、よく使われているが欠陥のあるモデル（強度や生存確率のモデル化に）の代替として、実用的かつ解析的に取り扱える代替案を提供すること。

提案手法

• ガウス型拡散過程 $X_t$ に有界かつ可逆な変換 $F$ を適用することで円錐型マルティンググールを構築し、$Y_t = F(X_t)$ とし、ほとんど確実に $Y_t \in [0,1]$ となるようにする。
• ドリフトなしのSDE $dY_t = \sigma(t,Y_t)dW_t$ を用いて動的性を定義し、$\sigma$ に適切な条件を課すことにより、マルティンググール性を保証する。
• $X_t$ を $x_0$ のまわりで安定化させるために、ドリフト関数 $f(x) = -\frac{1}{2} \left( \frac{x - x_0}{\mu} \right)^2 + \frac{1}{2} \left( \frac{x - x_0}{\mu} \right)^4$ を用い、二峰性のドリフトを導入することで、境界への収束を防ぐ。
• 変換後の過程を単位区間へ写像するために、逆標準正規累積分布関数 $\Phi^{-1}$ を適用し、結果として得られる $Y_t$ が[0,1] 値をとり、真のマルティンググールであることを保証する。
• 長期間の挙動と分布的性質を検証するために、モンテカルロシミュレーションとPDEソルバーを用いる。
• 条件付き生存確率過程 $Q_t(T)$ の累積分布関数を、$z^\star$ を解く閾値方程式に従って決定する $\Phi(z^\star)$ として導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間に依存しないガウス拡散過程の写像が、[0,1] に有界な真のマルティンググールを生成するための条件は何か？
• RQ2 可分型ボラティリティ $\sigma(t,y) = g(t)h(y)$ を持つ円錐型マルティンググールの中で、時間に依存しないガウス写像から得られる唯一のものは何か？
• RQ3 二峰性ドリフト関数は、得られるマルティンググールの長期的分布および境界挙動にどのように影響を与えるか？
• RQ4 提案手法は、一変量および二次元の生存確率を一貫してモデル化でき、マルティンググール性と有界性の両方を保つことができるか？
• RQ5 この枠組み下で、条件付き生存確率過程 $Q_t(T)$ の累積分布関数の解析的形は何か？

主な発見

• 二峰性ドリフト関数と有界変換 $F$ を用いて構築された円錐型マルティンググールは、非退化な定常分布を示し、$t \to \infty$ であっても[0,1] の内部に非ゼロの確率質量を有する。これにより、ほとんど確実に0または1に収束するのを防ぐ。
• もし $X_t$ がドリフト関数 $f(x)$ を持つ局所マルティンググールであり、$F$ が $F(\pm\infty) = 0,1$ を満たす厳密に増加する有界な $C^2$ 関数であれば、$Y_t = F(X_t)$ は真のマルティンググールである。
• 特定のケース $\sigma(t,y) = g(t)h(y)$ において、著者らは、時間に依存しないガウス写像から得られるマルティンググールの中で、マルティンググール性および有界性の両条件を満たすのは、この過程が唯一であることを証明した。
• $Q_t(T)$ の累積分布関数は、$\Phi(z^\star)$ として与えられ、ここで $z^\star = (y^\star - m(t,T))/\sqrt{v(t)}$ であり、$y^\star$ は $x \in (0,1)$ および $m > 0$ のもとで $x\Phi(m + y) - \Phi(y) = 0$ を満たす唯一の解である。これにより、解析的取り扱いが保証される。
• モンテカルロおよびPDEシミュレーションにより、$t \to \infty$ においても $[F(X_0 - \mu), F(X_0 + \mu)]$ の内部区間で正の確率が維持されることを確認し、中央領域の理論的安定性を裏付けた。
• 本手法は、強度モデルにおける確率が1を超える問題を効果的に回避し、信用リスクモデリングにおけるシフトされたCIR++型やHull-Whiteモデルの代替として一貫性をもって機能することが示された。