[論文レビュー] Conic S-Procedure And Constrained Dissipativity

Аlexander L. Fradkov|ArXiv.org|Sep 30, 2005

Stability and Control of Uncertain Systems参考文献 6被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、正定値行列空間における双対性と行列ラグランジュ乗数を用いて、有限周波数周波数領域不等式（FDI）、時領域の消費性不等式、および制約付き線形行列不等式（LMI）の間の同値性を確立する、新しい円錐S手続きフレームワークを提案する。主な貢献は、損失のないS手続きの拡張であり、行列不等式制約下でのロバスト解析と設計を可能にし、古典的なKYP補題を非古典的かつ有限周波数設定に一般化する。制御系のロバスト性に実用的意義を持つ。

ABSTRACT

A new version of classical S-procedure in system theory is proposed based on duality in the space of positive definite matrices and introduction of matrix Lagrange multipliers. A new proof and extension of the recent results of T.Iwasaki, S. Hara, A. Fradkov ( Systems & Control Letters, 2005. Vol 54 (7), pp 681-691) concerning equivalence between frequency domain inequality on finite frequency range and constrained dissipativity property for linear systems is given. The results of this paper extend S-procedure to allow for analysis and design of systems with matrix inequalities constraints.

研究の動機と目的

• 古典的なS手続きを、円錐制約と行列不等式を扱えるように拡張し、特に有限周波数制御問題に適用すること。
• 正定値行列空間における双対性と行列ラグランジュ乗数を用いて、損失のないS手続きの定式化を確立すること。
• 有限周波数周波数領域不等式（FDI）、時領域の消費性不等式（TDI）、および制約付き線形行列不等式（LMI）の間の同値性を証明すること。
• 特に、制限付きまたは制約付き消費性を示す系に対して、行列不等式制約下でのロバスト制御系解析と設計を可能にすること。

提案手法

• 正定値行列空間における双対性に基づく新しい円錐S手続きの定式化を提案し、制約を扱うために行列ラグランジュ乗数を導入する。
• 円錐S手続きを適用して、一般化されたKYP-lemmaフレームワークを介して、有限周波数FDI、TDI、およびLMI条件の同値性を証明する。
• 最適化における双対性定理を用いて、制約錐に凸性および正則性条件が満たされる場合にS手続きが損失のないことを確立する。
• 行列乗数を用いて時領域の消費性条件を変換することで、有限周波数FDIと同等の行列不等式（LMI）を導出する。
• L2空間における積分二次形式を用いて、状態および入力制約を伴う連続時間線形系にこの手法を適用する。
• 定理4および系1を用いて、アプローチを検証し、周波数帯域内のFDIと制約付き消費性の間の同値性を示す。ここで「遅れ」条件として状態微分のエネルギーに制限を設ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的なS手続きは、損失のない形で行列不等式制約および有限周波数領域不等式を扱えるように拡張可能か？
• RQ2 双対性に基づくフレームワークは、有限周波数FDI、時領域消費性、および制約付きLMIの間の同値性を確立できるか？
• RQ3 入力および状態ダイナミクスの観点から、制約付き消費性をどのように特徴づけられるか。特に、状態微分エネルギーに上限を設ける場合。
• RQ4 行列不等式で定義される円錐制約の下で、S手続きの損失のなさを保証する条件は何か？
• RQ5 系の漸近的安定性を仮定しないで、FDIと制約付き消費性の同値性を確立できるか？

主な発見

• S手続きの損失のなさは、関数的集合の像錐の閉包が凸であり、かつ制約が正則である場合に成立し、S手続きの定式化における(A)と(B)の同値性を保証する。
• 一般周波数帯域Ωにおける有限周波数FDIは、状態とその微分を含む行列制約(7)を伴う時領域消費性不等式(6)と同値である。
• 低周波数FDI（|ω| ≤ ϖ）では、制約は状態微分のエネルギーが状態エネルギーに対して上限を持つものに簡略化され、∫|ẋ|²dt ≤ ϖ²∫|x|²dtの形をとる。
• 系の漸近的安定性を仮定しないで同値性が成立し、従来の仮定を要する結果を拡張する。
• 行列ラグランジュ乗数を介して、有限周波数FDI問題を制約付きLMI問題に変換することで、ロバスト制御設計が可能になる。
• 本手法はKYP補題を有限周波数および制約付き消費性設定に一般化し、一元的なロバストネス解析フレームワークを提供する。