[論文レビュー] Conic singularities, generalized scattering matrix, and inverse scattering on asymptotically hyperbolic surfaces

Hiroshi Isozaki, Yaroslav Kurylev+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 7, 2011

Geometric Analysis and Curvature Flows被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、尖頭と正則端を持つ漸近的に双曲的で、特異点を持つ表面において、一般化された散乱行列が、リーマン計量および角特異点構造を一意に決定することを確立している。カスプ付近におけるヘルムホルツ方程式の解の解析を通じて、著者たちは幾何的データを符号化する一般化されたS行列を定義し、S行列の等スペクトル性が、全空間の等長写像（特に双曲平面のフクシアン商のオルビフォールド同型）を意味することを証明している。

ABSTRACT

We consider an inverse problem associated with some 2-dimensional non-compact surfaces with conical singularities, cusps and regular ends. Our motivating example is a Riemann surface $\mathcal M = Γ\backslash{\bf H}^2$ associated with a Fuchsian group of the 1st kind $Γ$ containing parabolic elements. $\mathcal M$ is then non-compact, and has a finite number of cusps and elliptic singular points, which is regarded as a hyperbolic orbifold. We introduce a class of Riemannian surfaces with conical singularities on its finite part, having cusps and regular ends at infinity, whose metric is asymptotically hyperbolic. By observing solutions of the Helmholtz equation at the cusp, we define a generalized S-matrix. We then show that this generalized S-matrix determines the Riemannian metric and the structure of conical singularities.

研究の動機と目的

• 漸近的に双曲的で、角特異点、カスプ、正則端をもつ2次元リーマン多様体に対して一般化された散乱行列を定義すること。
• この一般化されたS行列が、全リーマン計量および角特異点構造を一意に決定することを確立すること。
• 一般化されたS行列の等スペクトル性が、それらの表面の全空間的等長写像を意味することを証明すること。
• 双曲平面の幾何的に有限なフクシアン群による商として得られる非コンパクトな双曲的オルビフォールドに対し、逆散乱結果を拡張すること。

提案手法

• 角特異点、カスプ、正則端をもつ2次元リーマン多様体のクラスを定義し、その計量が漸近的に双曲的であるようにする。
• カスプ端におけるヘルムホルツ方程式の解の漸近的解析を通じて、一般化されたS行列を導入する。
• 径方向の測地線と角度パラメータを用いて、散乱行列を角特異点付近の局所的計量構造に関連付ける。
• 共形的および解析的接続の議論を用いて、正則部分から特異点へ等長写像を拡張する。
• 双曲的オルビフォールドの場合に、一般化されたS行列がフクシアン群の共共役類を決定することを証明する。
• 除去可能特異点定理および均一化被覆を用いて、特異点を越えて等長写像を拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化されたS行列は、角特異点をもつ漸近的に双曲的表面のリーマン計量を一意に決定できるか？
• RQ2 S行列は、その角の角度を含む角特異点構造を符号化しているか？
• RQ3 2つの表面が同じ一般化されたS行列を持ち、正則部分が等長写像であれば、それらは全空間的に等長写像か？
• RQ4 一般化されたS行列は、双曲平面に作用する幾何的に有限なフクシアン群の共役類を決定するか？
• RQ5 楕円的特異点をもつ双曲的オルビフォールドに対し、逆散乱問題は解けるか？

主な発見

• 一般化されたS行列は、角特異点を含む全表面のリーマン計量を一意に決定する。
• S行列は、式 (1.2) の定数 $ C_p $ を通じて、各角特異点における角の大きさ（円錐角）を決定する。
• 2つの表面が正則部分が等長写像であり、同じ一般化されたS行列を持つならば、それらは全空間的に等長写像である。
• 一般化されたS行列は、双曲平面に作用する幾何的に有限なフクシアン群の共役類を決定する。
• 表面間の等長写像は、角特異点を越えて解析接続可能であり、それによってオルビフォールド同型が導かれる。
• 証明は、普遍被覆への等長写像の持ち上げと、除去可能特異点定理を用いて特異点へ写像を拡張する手法に依存している。