[論文レビュー] Conjectural relations in the tautological ring of $\bar{M}_{g,n}$

Aaron Pixton|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 2被引用数 28

ひとこと要約

本稿では、双対グラフを用いた形式的ストラタ代数の枠組みにより、マークド点と境界ストラタを組み込んだ、モジュライ空間 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ のタウトロジカルなリレーションへのファーバー＝ツァギエの関係の推測的拡張を提案する。主な貢献は、分割とマークド点不変量をパrameterとする新しいタウトロジカルなリレーションの体系的構成であり、計算による検証がその妥当性と完全性の可能性を支持している。

ABSTRACT

We describe a very large class of conjectural relations in the tautological ring of the moduli space $\bar{M}_{g,n}$ of stable curves of genus $g$ with $n$ marked points, extending and generalizing the Faber-Zagier relations. These notes are loosely based on informal talks given by the author at the workshop at KTH Stockholm on "The moduli space of curves and its intersection theory" in April 2012.

研究の動機と目的

• 元々 $\mathcal{M}_g$ 上で定義されたファーバー＝ツァギエの関係を、$n$ 個のマークド点を持つコンパクト化モジュライ空間 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ に拡張すること。
• 境界ストラタとマークド点を含む、$R^*(\overline{\mathcal{M}}_{g,n})$ 内の新しいタウトロジカルなリレーションの体系的構成を提供すること。
• これらのリレーションが、ストラタ代数 $\mathcal{S}_{g,n}$ から $R^*(\overline{\mathcal{M}}_{g,n})$ への全射の核を完全に生成する、という予想を提示すること。

提案手法

• 双対グラフ（種数、マークド点、エッジデータを含む）でラベル付けされた、$\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ の境界ストラタに対応する生成子を持つ、形式的 $\mathbb{Q}$-代数としてストラタ代数 $\mathcal{S}_{g,n}$ を定義する。
• 生成関数 $A(T)$, $B(T)$, $C_i(T)$ と、不定元 $K_n$ の単項式を $\kappa$-類へ写像する形式的 $\kappa$-作用素を用いて、関係 $\mathcal{R}(g,n,r;\sigma,a_1,\ldots,a_n)$ を構成する。
• エッジ寄与 $\Delta_e$ を $A$, $B$, $\psi$-類、および $\zeta_v$-類（種数重み）を用いて定義し、恒等式 $A(T)B(-T) + A(-T)B(T) + 2 = 0$ を用いて有理化を保証する。
• 接続写像と忘却写像に沿ったプッシュフォワードとプルバックを用いて、幾何的演算に関して閉じた系を構築し、タウトロジカルなリング構造と整合性を保つ。
• 下位次元ストラタからの関係のプッシュフォワードと、他の成分上の任意の類との積によって生成される理想として $\mathcal{R}_{g,n}$ を定義する。
• 小規模な種数と $n$ における計算的検証を通じて予想を確認し、ゲッツラーの関係およびベロルウスキー＝パンダリパンドの関係を回復する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ファーバー＝ツァギエの関係が $R^*(\mathcal{M}_g)$ で定義されているのを、自然かつ体系的に $R^*(\overline{\mathcal{M}}_{g,n})$ に拡張できるか。
• RQ2 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ におけるマークド点と境界ストラタを組み込んだ、FZ関係の正しい一般化は何か。
• RQ3 提示された関係 $\mathcal{R}(g,n,r;\sigma,a_1,\ldots,a_n)$ が、提示された次数条件のもとで $R^*(\overline{\mathcal{M}}_{g,n})$ 内で消えるか。
• RQ4 理想 $\mathcal{R}_{g,n}$ が、$\mathcal{S}_{g,n} \to R^*(\overline{\mathcal{M}}_{g,n})$ の全射の核を完全に生成するか。
• RQ5 すべての新しいタウトロジカルなリレーションは、正の種数において $S_n$-不変であるか、という構造的性質が示唆する通りか。

主な発見

• Conjecture 1 に従い、$3r \geq g+1 + |\sigma| + \sum a_i$ のとき、推測的関係 $\mathcal{R}(g,n,r;\sigma,a_1,\ldots,a_n)$ は $R^*(\overline{\mathcal{M}}_{g,n})$ 内で消える。
• 関係 $\mathcal{R}_{g,n}$ はストラタ代数 $\mathcal{S}_{g,n}$ 内の理想をなし、接続写像と忘却写像に沿ったプッシュフォワードおよびプルバックに関して閉じている。
• 種数 $g > 0$ の場合、$\mathcal{R}_{g,n}/\mathcal{R}^{\text{old}}_{g,n}$ 内のすべての新しい関係は $S_n$-不変であり、すべての部品が $3$ を法として $1$ に合同な分割 $\sigma$ から生じる。
• 関係は既知のタウトロジカルな関係を回復する：$R^2(\overline{\mathcal{M}}_{1,4})$ におけるゲッツラーの関係、および $R^2(\overline{\mathcal{M}}_{2,3})$ におけるベロルウスキー＝パンダリパンドの関係。
• Sage を用いた計算により、$\mathcal{R}_{g,n}$ が正しいランクをもつ Gorenstein 商を生成することが確認された：$R^3(\overline{\mathcal{M}}_{2,4})$ でランク 333、$R^4(\overline{\mathcal{M}}_{3,2})$ でランク 142、$R^4(\overline{\mathcal{M}}_4)$ および $R^5(\overline{\mathcal{M}}_4)$ でランク 50。