[論文レビュー] Conjectures about distinction and Asai $L$-functions of generic representations of general linear groups over local fields

Nadir Matringe|ArXiv.org|Nov 10, 2008

Advanced Algebra and Geometry参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、$p$-進体 $K/F$ における $GL(n,K)$ の一般表現について、ランキン＝セールバーグ型アサイ L関数とラングランズパラメータからのアサイ L関数の間の推測的同型を確立する。コグルデルとピアテツキ＝シャピロの手法にインspiredされた方法を用い、この等式が、その誘導 quasi-square-integrable 表現に基づく、区別可能な一般表現の分類に関する予想が真であることにのみ依存することを示し、主系列表現に対してその結果を証明する。

ABSTRACT

Let $K/F$ be a quadratic extension of p-adic fields. The Bernstein-Zelevinsky's classification asserts that generic representations are parabolically induced from quasi-square-integrable representations. We show, following a method developed by Cogdell and Piatetski-Shapiro, that the equality of the Rankin-Selberg type Asai $L$-function of generic representations of $GL(n,K)$ and of the Asai $L$-function of the Langlands parameter, is equivalent to the truth of a conjecture about classification of distinguished generic representations in terms of the inducing quasi-square-integrable representations. As the conjecture is true for principal series representations, this gives the expression of the Asai L-function of such representations.

研究の動機と目的

• ランキン＝セールバーグ積分によって定義されるアサイ $L$-関数と、$GL(n,K)$ の一般表現のラングランズパラメータから導かれるアサイ $L$-関数との間の明確な関係を確立すること。
• アサイ $L$-関数の解析的性質（特にゼロにおける極）と、表現論的概念（非ゼロの $GL(n,F)$-不変線形形式の存在）である区別性との関係を調査すること。
• 誘導 quasi-square-integrable 表現のガロア共役と双対性に基づいて、区別可能な一般表現を特徴付ける予想を提示・分析すること。
• 区別可能な表現に関する予想が真であると仮定したもとで、2つのアサイ $L$-関数の等式が、無限大主系列表現に対して成り立つことを証明すること。
• 2つのアサイ $L$-関数の等式が、区別可能な一般表現の分類に関する予想の真偽に同値であることの証明。

提案手法

• 2つの $L$-関数の計算に用いられるコグルデルとピアテツキ＝シャピロの手法を、アサイ $L$-関数の文脈に適応し、表現の区別性に注目する。
• ベルンシュタイン＝ゼレヴィンスキーの分類を用いて、一般表現を quasi-square-integrable 表現からの正規化されたパラボリック誘導として表現する。
• ホイットカー模型および相互作用作用素の理論を適用し、ランキン＝セールバーグ積分のメロモルフィック性と誘導データの構造との関係を明らかにする。
• ランキン＝セールバーグ積分の関数等式およびメロモルフィック拡張を用いて、アサイ $L$-関数の極を分析する。
• 誘導表現の帰納的構造を用いて、$L$-関数を部分表現およびそれらのガロア捩れの積に分解する。
• 【J-P-S】の積分公式を適用し、$GL(r,F)$ 上の積分と $GL(n,F)$ 上の積分との関係を確立することで、ホイットカー汎関数を介した $L$-関数の比較を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 誘導 quasi-square-integrable 表現がどのような条件下に、$GL(n,K)$ の一般表現が区別可能（非ゼロの $GL(n,F)$-不変線形形式を持つ）となるか。
• RQ2 一般表現のランキン＝セールバーグ型アサイ $L$-関数が、そのラングランズパラメータからのアサイ $L$-関数と等しいか。
• RQ3 一般表現のアサイ $L$-関数がゼロに特異極を持つのは、その表現が区別可能であるときのみか。
• RQ4 2つのアサイ $L$-関数の等式が、一般表現の誘導データの構造に関する予想に帰着可能か。
• RQ5 無限大主系列表現 $GL(n,K)$ のアサイ $L$-関数の明示的形は何か。

主な発見

• 一般表現 $\theta$ に対して、ランキン＝セールバーグ型アサイ $L$-関数 $L_F^K(\theta)$ とラングランズパラメータからのアサイ $L$-関数 $L_F^{K,W}(\theta)$ の等式は、区別可能な表現の分類に関する予想 1.1 の真偽に同値である。
• 無限大主系列表現に対しては、区別可能な表現に関する予想が真であるため、その表現に対して $L_F^K(\theta) = L_F^{K,W}(\theta)$ が成り立つ。
• 誘導データに関する予想を仮定したもとで、一般表現 $\theta$ のアサイ $L$-関数がゼロに特異極を持つのは、$\theta$ が区別可能であるときのみである。
• 表現 $\theta$ が $\theta = \theta_d \times \theta_u$ と分解され、$\theta_d$ が $\theta_{i+1}^\tau = \theta_i^\tau$ を満たす表現から誘導される場合、$\theta_u$ が非ゼロで、すべての異なる非区別表現から構成されるならば、$L_F^K(\theta)$ のゼロにおける極の位数は、$L_F^K(\theta_d)$ にのみ依存する。
• $L_F^K(\theta_d)$ はオイラー因子 $L_{(0)}(\theta)$ を割り切るため、$L_F^K(\theta)$ のゼロにおける極が特異でないのは $\theta_u = 0$ でない限りであり、これにより解析的性質と表現論的性質が結びつけられる。