[論文レビュー] Conjectures involving arithmetical sequences

Zhi‐Wei Sun|arXiv (Cornell University)|Aug 13, 2012

Advanced Mathematical Identities参考文献 17被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、数論的および組合せ的数列から導かれる列の単調性に関する30の予想を提示する。特に、$a_n$ を正の整数列とするとき、$(\sqrt[n]{a_n})_{n \geq 1}$ および $(\sqrt[n+1]{a_{n+1}} / \sqrt[n]{a_n})_{n \geq 1}$ の振る舞いに注目する。主な貢献は、Firoozbakhtの予想とArtinの原始根予想を拡張する統一的な予想枠組みを提示し、特定のケースについて広範な数値的検証を実施したことである。

ABSTRACT

We pose thirty conjectures on arithmetical sequences, most of which are about monotonicity of sequences of the form $( oot n\of{a_n})_{n\ge 1}$ or the form $( oot{n+1}\of{a_{n+1}}/ oot n\of{a_n})_{n\ge1}$, where $(a_n)_{n\ge 1}$ is a number-theoretic or combinatorial sequence of positive integers. This material might stimulate further research.

研究の動機と目的

• Firoozbakhtの予想（$\sqrt[n]{p_n}$ の厳密な単調減少性）を、等差数列における素数や原始根を含むより広いクラスの数列へ拡張すること。
• Franel数、Apéry数、Domb数、Schröder数などの組合せ的数列について、$\sqrt[n]{a_n}$ および $\sqrt[n+1]{a_{n+1}} / \sqrt[n]{a_n}$ の単調性を調査すること。
• Mandlの不等式などの既知の不等式の修正および一般化を、素数の和や関連数列に対して提案すること。
• 数列の成長率と、Artinの原始根予想やSchinzelの予想Hといった深い数論的予想との関係を探索すること。
• 算術的数列の対数凹性、対数凸性、漸近的単調性に関する今後の研究を刺激する可能性を秘めた30の予想を体系的に提示すること。

提案手法

• 数値的証拠および既知の不等式との類似性に基づき、素数、原始根、組合せ的数から導かれる数列 $a_n$ について、$\sqrt[n]{a_n}$ の厳密な単調減少性に関する予想を提示する。
• 変換の利用：$\sqrt[n+1]{a_{n+1}} / \sqrt[n]{a_n}$ が極限1をもつ厳密に増加列であれば、$\sqrt[n]{a_n}$ は厳密に減少する。
• $n = 10^6$ までおよび $4 \times 10^{18}$ 未満の素数までを対象に、$p_n^\alpha$ および $\sqrt[n]{S_n}$ に関する予想を数値的検証する。
• 対数補正を用いたFiroozbakhtの予想の修正を提案し、$\sqrt[n+1]{p_{n+1}} / \sqrt[n]{p_n} < 1 - \frac{\log \log n}{2n^2}$ のような形で、広範な計算的検証を実施する。
• Artinの予想を一般化し、与えられた最小または最大の負の原始根を持つ素数の列が $\sqrt[n]{p_n(a)} > \sqrt[n+1]{p_{n+1}(a)}$ を満たすと予想するが、$a = -2$ および $n = 13$ の場合を除く。
• Franel数、Apéry数、Domb数、Catalan-Larcombe-French数などの組合せ的数列について、比列 $\sqrt[n+1]{a_{n+1}} / \sqrt[n]{a_n}$ の単調性を予想し、明示的な閾値 $N(r)$ や $M(r)$ を提示する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Firoozbakhtの予想に従い、すべての $n \geq 1$ に対して $\sqrt[n]{p_n}$ が厳密に減少するか？この性質は、等差数列における素数へ拡張可能か？
• RQ2 比 $\sqrt[n+1]{p_{n+1}} / \sqrt[n]{p_n}$ は、すべての $n > 4$ に対して、修正された不等式 $< 1 - \frac{\log \log n}{2n^2}$ を満たすか？
• RQ3 非平方数の $a$ に対して、$p_n(a)$ を $a$ を原始根にもつ $n$ 番目の素数とするとき、十分大きな $n$ に対して $\sqrt[n]{p_n(a)}$ は厳密に減少するか？
• RQ4 Franel数、Apéry数、Domb数、Schröder数などの組合せ的数列について、比列 $\sqrt[n+1]{a_{n+1}} / \sqrt[n]{a_n}$ は厳密に減少し、極限が1に収束するか？
• RQ5 合計 $\sum_{k=0}^{p-1} P_k / 8^k \mod p^3$ および $\sum_{k=0}^{p-1} P_k / 16^k \mod p^3$ に関する合同式は、$P_n$ の単調性を用いて証明可能か？

主な発見

• 予想2.1では、$\alpha > 0$ に対して、平均 $\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n p_k^\alpha < \frac{p_n^\alpha}{\alpha+1}$ がすべての $n \geq 2\lceil\alpha\rceil^2 + \lceil\alpha\rceil + 6$ で成り立つと述べ、$\alpha = 2$ から $700$ まで、$n \leq 10^6$ まで数値的に検証された。
• 予想2.2はFiroozbakhtの予想を精緻化し、すべての $n > 4$ に対して $\frac{\sqrt[n+1]{p_{n+1}}}{\sqrt[n]{p_n}} < 1 - \frac{\log \log n}{2n^2}$ が成り立つと主張する。$n = 3,500,000$ までおよび $4 \times 10^{18}$ 未満の素数までで検証された。
• 予想2.3はFiroozbakhtの予想を等差数列における素数へ拡張する：$\sqrt[n]{p_n(a,q)}$ は $n \geq n_0(a,q)$ で厳密に減少する。$q \leq 45$ の場合、$n_0(a,q) = 2$ であるが、小さな $n$ に対しては例外が存在する。
• 予想2.4は、非平方数 $a$ に対して、$a > 0$ のとき $\sqrt[n]{p_n(a)}$ が厳密に減少することを主張し、$a < 0$ の場合も $a = -2$ および $n = 13$ を除いて同様の性質が成り立つ。比列 $\sqrt[n+1]{P_{n+1}(a)} / \sqrt[n]{P_n(a)}$ は1に収束する厳密に増加列である。
• 予想3.10では、Apéry数 $A_n^{(r)}$ に対して、比列 $\sqrt[n+1]{A_{n+1}^{(r)}} / \sqrt[n]{A_n^{(r)}}$ が $n \geq M(r)$ で厳密に減少すると述べ、$r \leq 16$ のとき $M(r) = 1$、$M(17) = M(18) = M(19) = 9$、$M(20) = 12$ である。
• 予想3.13は、Catalan-Larcombe-French数 $P_n$ が $\sqrt[n]{P_n}$ が厳密に増加し、$\sqrt[n+1]{P_{n+1}} / \sqrt[n]{P_n}$ が厳密に減少すると主張する。この性質は、Euler数を含む $p^3$ を法とする合同式によって裏付けられる。