[論文レビュー] Conjugacy classes of finite subgroups of certain mapping class groups

Michał Stukow|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2005

Geometric and Algebraic Topology参考文献 4被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、$r$ 個のマークド点を持つ球面の写像類群 ${\cal{M}}_{0,r}$ の有限部分群の同型類を完全に分類し、それを用いてハイパーエリプティック写像類群 ${\cal{M}}^{h}_g$ の最大有限部分群の同型類を記述する。主な結果として、固定された genus $g$ に対して、${\cal{M}}^{h}_g$ の最大有限部分群の同型類は高々五つであり、その数と同型型は $g$ に関する明確な条件によって決定される。

ABSTRACT

We give a complete description of conjugacy classes of finite subgroups of the mapping class group of the sphere with r marked points. As a corollary we obtain a description of conjugacy classes of maximal finite subgroups of the hyperelliptic mapping class group. In particular, we prove that for a fixed genus g there are at most five such classes.

研究の動機と目的

• 球面に $r \geq 3$ 個のマークド点を持つ写像類群 ${\cal{M}}_{0,r}$ の有限部分群の同型類を完全に分類すること。
• 特に巡回、二面体、多面体的対称性と関連して、${\cal{M}}_{0,r}$ における最大有限部分群の構造と同型類を特定すること。
• ${\cal{M}}^{h}_g / \langle \rho \rangle \cong {\cal{M}}_{0,2g+2}$ である商写像を介して、${\cal{M}}_{0,r}$ の分類をハイパーエリプティック写像類群 ${\cal{M}}^{h}_g$ に拡張すること。ここで $\rho$ はハイパーエリプティック対合である。
• ${\cal{M}}^{h}_g$ の二つの最大有限部分群が共役であるための必要十分条件が、それらが同型であることであることを確立し、分類を単純化すること。

提案手法

• 有限部分群をリーマン球面 $\mathbb{P}^1$ の向きを保つ等距変換（直交回転）として実現するニールセン実現定理を用いる。
• 標識点を対称な位置（例えば赤道上）に再配置することで、群作用の正規モデルを構成し、安定化部分群や軌道構造の解析を容易にする。
• ${\mathrm{PSL}}(2,\mathbb{C})$ の有限部分群の分類を適用し、幾何的作用に基づいて可能な同型型 $\mathbb{Z}_n$、$D_n$、$A_4$、$S_4$、$A_5$ を特定する。
• 標準的射影 $\pi: {\cal{M}}^{h}_g \to {\cal{M}}_{0,2g+2}$ を用いて、${\cal{M}}_{0,r}$ の結果をハイパーエリプティック写像類群に持ち上げる。ここで $r = 2g+2$ であり、$\pi$ が最大有限部分群の同型類に全単射を誘導することを証明する。
• ${\cal{M}}_{0,2g+2}$ の部分群が ${\cal{M}}^{h}_g$ に最大有限部分群として持ち上がる条件を、中心的対合 $\rho$ を考慮して特定するための群論的持ち上げ技法を適用する。
• 軌道-安定化部分群解析と位数比較を用いて、特に既知の型を超える拡張が存在しないことを証明し、部分群の最大性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 球面に $r$ 個のマークド点を持つ写像類群 ${\cal{M}}_{0,r}$ の有限部分群の同型類は何か？
• RQ2 ${\cal{M}}_{0,r}$ のどの有限部分群が最大であり、それらは同型類の意味でどのように分類できるか？
• RQ3 ${\cal{M}}_{0,r}$ の最大有限部分群の同型類は、ハイパーエリプティック写像類群 ${\cal{M}}^{h}_g$ にどのように持ち上がるか？
• RQ4 固定された genus $g$ に対して、${\cal{M}}^{h}_g$ に存在する最大有限部分群の同型類はいくつあるか？その数は何かに依存するか？
• RQ5 二つの最大有限部分群が ${\cal{M}}^{h}_g$ で共役であるための条件は何か？同型であれば共役になると言えるか？

主な発見

• 固定された genus $g$ に対して、ハイパーエリプティック写像類群 ${\cal{M}}^{h}_g$ には高々五つの最大有限部分群の同型類が存在する。
• $g \equiv 0, 5, 9, 14, 15, 20, 24, 29 \pmod{30}$ のとき、${\cal{M}}^{h}_g$ に正確に五つの最大有限部分群の同型類が存在する。
• $g = 2$ のとき、正確に三つの最大有限部分群の同型類が存在する。
• その他のすべての $g$ に対して、${\cal{M}}^{h}_g$ には正確に四つの最大有限部分群の同型類が存在する。
• ${\cal{M}}^{h}_g$ の二つの最大有限部分群が共役であるための必要十分条件は、それらが同型であることである。これにより、同型と共役性の強い関係が確立される。
• ${\cal{M}}^{h}_g$ の最大有限部分群は、すべて ${\cal{M}}_{0,2g+2}$ の最大有限部分群の持ち上げに他ならない。各同型型は、$g \mod 6$、$g \mod 12$、または $g \mod 30$ に応じて明示的な表示が与えられる。