[論文レビュー] Conjugacy Growth and Conjugacy Width of Certain Branch Groups

Elisabeth Fink|arXiv (Cornell University)|Sep 29, 2014

Geometric and Algebraic Topology参考文献 7被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、グラゴリチキン群を含む特定の分岐群の共軛成長関数に対して下界を確立し、$ e^{n^{\tau}} $（$ 0 < \tau < 1 $）の形をとる中間的成長率で、少なくともそれだけの速度で成長することを示している。さらに、有限の交換子幅を持つ単純無限分岐群は有界共軛幅を持つことを証明しており、これはすべての群元が生成元の共軛の均一に有界な個数の積として表せることを意味する。この結果を応用して、すべての生成集合に対してグラゴリチキン群の有限回文幅が成り立つことを確認した。

ABSTRACT

The conjugacy growth function counts the number of distinct conjugacy classes in a ball of radius $n$. We give a lower bound for the conjugacy growth of certain branch groups, among them the Grigorchuk group. This bound is a function of intermediate growth. We further proof that certain branch groups have the property that every element can be expressed as a product of uniformly boundedly many conjugates of the generators. We call this property bounded conjugacy width. We also show how bounded conjugacy width relates to other algebraic properties of groups and apply these results to study the palindromic width of some branch groups.

研究の動機と目的

• 分岐群のクラス、特にグラゴリチキン群を含むものについて、共軛成長関数の下界を確立すること。
• 有界共軛幅（BCW）という性質を調査すること。BCW とは、すべての群元が生成元の共軛の均一に有界な個数の積として表せることを意味する。
• 分岐群がBCWを満たす条件を特定すること。特に、単純無限で有限の交換子幅をもつ群に焦点を当てる。
• BCWの結果を回文幅の研究に応用すること。特に、グラゴリチキン群に注目する。
• すべての有限生成集合に対して、グラゴリチキン群が有限回文幅をもつことを示すこと。

提案手法

• 正則分岐群の根付き木への作用における再帰的構造を用いて、共軛成長関数を分析する。
• 中間的共転成長の証明は、球的均一木への自己同様性作用を用いて共軛類を構成し、レベルにおける成長を推定することで行われる。
• 有界共軛幅は、単純無限性と有限交換子幅を組み合わせ、剰余類代表元と交換子の共軛への分解に関する境界を用いることで確立される。
• 木のレベルに関する帰納法と、グラゴリチキン群の自己積構造における群元の再帰的分解を用いる。
• 重要な技術的ステップとして、導来部分群の構造と生成元の共軛を用いて、交換子を表現するのに必要な共軛の数を評価する。
• 回文幅の結果は、BCWと、生成集合の変更後に単純無限群が有限回文幅をもつという既知の結果を組み合わせ、BCWを用いてすべての生成集合に拡張することで導出される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正則分岐群、特にグラゴリチキン群において、共軛成長関数の漸近的成長率はいかほどか。
• RQ2 分岐群が有界共軛幅（BCW）をもつ条件は何か。すなわち、すべての元が生成元の共軛の均一に有界な個数の積として表せる条件は何か。
• RQ3 有界共転幅は、有限交換子幅や単純無限性といった他の代数的性質とどのように関係するか。
• RQ4 すべての有限生成集合に対して、グラゴリチキン群は有限回文幅をもつか。
• RQ5 有界共転幅は、非対合生成元をもつ群において、回文幅の結果を導くのに利用できるか。

主な発見

• $d$-正則根付き木に作用する任意の有限生成正則分岐群の共軛成長関数は、ある $ 0 < \tau < 1 $ に対して $ e^{n^{\tau}} $ で下から抑えられ、これは中間的成長率である。
• 単純無限で有限交換子幅をもち、根付き元を含む分岐群のすべての元は、定数 $ M $, $ C $, $ T $ を用いて、生成元の共軛の最大 $ M + C \cdot T $ 個の積として表せる。
• グラゴリチキン群は、BCWの主定理の条件を満たすため、有界共転幅をもつ。
• グラゴリチキン群は、その有界共転幅と単純無限群に関する既知の結果のおかげで、すべての有限生成集合に対して有限回文幅をもつ。
• 本稿では、非単純無限分岐群においてBCWが成り立たない反例を提示し、単純無限性の必要性を示した。
• コンピュータ実験の結果、グラゴリチキン群の交換子幅は2以下である可能性があるが、これは未解決の問題のままである。