[論文レビュー] Conjugate varieties with distinct real cohomology algebras

François Charles|ArXiv.org|Jun 25, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、数体への埋め込みによって誘導される複素共役が、非同型な実コホモロジー代数を持つ滑らかで射影的な多様体を構成する。ヴォジンの複素乗法を持つアーベル多様体のコホモロジー環に関する手法を用いて、著者たちは実コホモロジー代数が、複素共役の下で変化する自己準同型環の構造を検出できることを示し、グロタンディークの『共役な代数多様体が異なる実コホモロジー代数を持つことがあるか』という問いに答えている。

ABSTRACT

Using constructions of Voisin, we exhibit a smooth projective variety defined over a number field k and two complex embeddings of k, such that the two complex manifolds induced by these embeddings have non isomorphic cohomology algebras with real coefficients. This contrasts with the fact that the cohomology algebras with l-adic coefficients are canonically isomorphic for any prime number l, and answers a question of Grothendieck.

研究の動機と目的

• グロタンディークが提起した、共役な代数多様体が非同型な実コホモロジー代数を持つことがあるかどうかという問いに答えること。
• 複素多様体の実コホモロジー代数が、l進コホモロジーおよびQ_l係数のベッチコホモロジーでは不変であるにもかかわらず、複素共役の下で不変でないことを示すこと。
• 数体上に定義された滑らかで射影的な多様体の明示的例を構成し、その共役埋め込みがℂに与える実コホモロジー代数が非同型となること。
• 実コホモロジー代数が、有理数やl進コホモロジーでは見えないが、アーベル多様体の自己準同型環のような算術的データを検出できることを示すこと。
• 以前の非同相な共役多様体に関する結果を拡張し、その差がホモトピー型や基本群のレベルを超えて、実コホモロリー代数のレベルでも保たれることを示すこと。

提案手法

• E × E' と表される、複素乗法を持つ楕円曲線の積 A と、射影空間 ℙ^N との積 A × A × ℙ^N に沿って、5つの互いに交わらない部分多様体 Z₁, Z̄₂, Z₃, Z₄, Z₅ を吹き上げることで、滑らかで射影的な多様体 X を構成する。
• A の自己準同型環—複素乗法自己準同型 f と f' によって生成される—を、吹き上げの過程を通じて X のコホモロジー代数に算術的データとして埋め込む。
• 特に、アーベル多様体の自己準同型環をコホモロジー代数から再構成するヴォジンの技法を活用し、H¹(X, ℝ) における f と f' に対応するクラスを特定する。
• 重要なコホモロジー類を定義する：h（ℙ^N からのハイパーフラットクラスの引き戻し）、[Dᵢ]（例外的除部分多様体のクラス）；吹き上げの公式を用いて、X のコホモロジーと周囲空間のコホモロジーの関係を記述する。
• キーとなる補題を適用する：(h + θ[D₅])^{N+1} = 0 が成り立つのは θ = 0 のときに限る。この性質により、共役の下でのコホモロジー類の区別が可能になる。
• 体の自己同型 Aut(ℂ) が多様体およびそのコホモロジーに与える共役作用を用いて、τ が複素乗法を持つ楕円曲線に付随する虚二次体 k と k' を交換する場合、X^τ の実コホモロジー代数が X のそれとは同型でないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 数体上の2つの共役な滑らかで射影的な多様体が、非同型な実コホモロジー代数を持つことがあるか？
• RQ2 複素多様体の実コホモロジー代数は、アーベル多様体の自己準同型環のような算術的不変量を検出できるか？
• RQ3 l進コホモロジーおよびℚ_l係数のベッチコホモロジーでは不変であるにもかかわらず、実コホモロジー代数は複素共役の下で不変であるか？
• RQ4 吹き上げのコホモロジー代数は、アーベル多様体のコホモロジーに作用する複素乗法自己準同型の作用を検出できるか？
• RQ5 l進コホモロジー代数が同型である共役多様体は、必然的に実コホモロジー代数も同型であるか？

主な発見

• 本論文は、数体上に定義された滑らかで射影的な多様体 X を構成し、その共役多様体 X^τ が、底数体の異なるℂへの埋め込みに対応して非同型な実コホモロジー代数を持つことを示している。
• 実コホモロジー代数 H^*(X, ℝ) は、アーベル多様体 A = E × E' の自己準同型環を、複素乗法自己準同型 f と f' の作用を含めて符号化しており、これらは複素共役の下で保存されない。
• 主な区別要因は、H²(X, ℝ) に存在する [D₅] で張られる直線であり、そのハイパーフラットクラス h との相互作用によって、(h + θ[D₅])^{N+1} = 0 が成り立つのは θ = 0 のときに限る。この関係は共役の下で成立しないため、区別が可能になる。
• 証明により、共役 τ が複素乗法を持つ楕円曲線に付随する虚二次体 k と k' を交換するため、自己準同型 f と f' の固有値が変化し、それがコホモロジーに符号化されているため、X^τ の実コホモロジー代数は X のそれとは同型ではない。
• この構成により、グロタンディークの問いに対する肯定的解答が得られる：l進コホモロジー代数が自然に同型であるにもかかわらず、実コホモロジー代数が異なる共役多様体が存在する。
• この結果は、実コホモロジー代数が、l進コホモロジーとは異なり、複素共役の下で関手的不変でないことを示しており、従来の予想を上回るより細かい算術的情報を含んでいる。