[論文レビュー] Conjugates, Correlation and Quantum Mechanics

Alexander Wilce|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2012

Quantum Mechanics and Applications参考文献 14被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、確率的モデルに関する単純な公理から、有限次元量子力学を再構築する。非局所的状態 $η_A$ を介して、系 $A$ と完全に相関する共役系 $\overline{A}$ を導入する。可逆フィルタを活用し、制限なし仮説を回避することで、最小限で明確な方法で量子理論のジョルダン代数的構造を導出する。EPR状態は、共役系の物理的実現としての役割を果たす。

ABSTRACT

The Jordan structure of finite-dimensional quantum theory is derived, in a conspicuously easy way, from a few simple postulates concerning abstract probabilistic models (each defined by a set of basic measurements and a convex set of states). The key assumption is that each system A can be paired with an isomorphic $ extit{conjugate}$ system, $\overline{A}$, by means of a non-signaling bipartite state $\eta_A$ perfectly and uniformly correlating each basic measurement on A with its counterpart on $\overline{A}$. In the case of a quantum-mechanical system associated with a complex Hilbert space $\mathcal H$, the conjugate system is that associated with the conjugate Hilbert space $\overline{\mathcal H}$, and $\eta_A$ corresponds to the standard maximally entangled EPR state on ${\mathcal H} \otimes \overline{\mathcal H}$. A second ingredient is the notion of a $ extit{reversible filter}$, that is, a probabilistically reversible process that independently attenuates the sensitivity of detectors associated with a measurement. In addition to offering more flexibility than most existing reconstructions of finite-dimensional quantum theory, the approach taken here has the advantage of not relying on any form of the no restriction hypothesis. That is, it is not assumed that arbitrary effects are physically measurable, nor that arbitrary families of physically measurable effects summing to the unit effect, represent physically accessible observables. An appendix shows how a version of Hardy's subspace axiom can replace several assumptions native to this paper, although at the cost of disallowing superselection rules.

研究の動機と目的

• 有限次元量子理論を基礎的な確率的公理から、新たな素朴な再構築を提供すること。
• 数学的に可能な効果が物理的に測定可能であると仮定する制限なし仮説に依存しないこと。
• 共役系 $\overline{A}$ を中心的な構造的要素として導入し、均一で非局所的相関状態 $\eta_A$ を介して関連付けること。
• 共役系と可逆フィルタの組み合わせから、量子力学のジョルダン代数的構造が自然に導かれるのを示すこと。
• ヒルベルト空間量子力学における標準的なEPR状態が、共役系をどのように実現するかを示すこと。

提案手法

• 各系 $A$ に対して共役系 $\overline{A}$ を公理化し、非局所的状態 $\eta_A$ が、$A$ の基本測定と $\overline{A}$ の対応する測定を完全に相関させる。
• 可逆フィルタ（測定ごとに独立に検出器感度を低下させる確率的に可逆なプロセス）の概念を用いる。
• 制限なし仮説を仮定せず、共役系と可逆フィルタの相互作用から、量子力学のジョルダン構造を導出する。
• 共役状態 $\eta_A$ を用いて、合成系の状態空間を構築し、すべての基本測定において一様な相関を保証する。
• 系 $A$ が量子力学的である場合、共役系 $\overline{A}$ は共役ヒルベルト空間 $\overline{\mathcal{H}}$ に対応することを示す。
• 標準的なEPR状態が、量子の場合に必要な相関 $\eta_A$ をどのように実現するかを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子力学のジョルダン代数的構造は、最小限の確率的公理からどのように導かれるか？
• RQ2 確率的モデルにおける共役系 $\overline{A}$ の物理的役割は何か？ そして、それがどのように量子構造を強制するか？
• RQ3 制限なし仮説を仮定せずに、量子理論の再構築は可能か？
• RQ4 可逆フィルタは、この枠組みにおける量子力学の構造的導出にどのように寄与するか？
• RQ5 ハーディの部分空間公理は、この再構築における重要な仮定を置き換えることができるか？ その代償は何か？

主な発見

• 有限次元量子理論のジョルダン構造は、制限なし仮説を必要とせず、共役系と可逆フィルタを含む単純な公理から導出可能である。
• 共役系 $\overline{A}$ は $A$ に同型であり、状態 $\eta_A$ は $A$ と $\overline{A}$ の対応する測定の間で完全で一様な相関を誘発する。
• 量子の場合、共役系は共役ヒルベルト空間 $\overline{\mathcal{H}}$ に対応し、$\eta_A$ は $\mathcal{H} \otimes \overline{\mathcal{H}}$ 上の標準的EPR状態に対応する。
• 本フレームワークは、任意の効果の物理的実現可能性に関する仮定を避けることで、他の既存の再構築と比較してより高い柔軟性を有する。
• 付録では、ハーディの部分空間公理が本フレームワークの複数の仮定を置き換えることができることを示しているが、これにより超選択則は除外される。
• 本アプローチは、数学的完全性よりも物理的原理を強調することで、量子理論の代数的構造に対する明確で最小限の導出を提供する。