[論文レビュー] Connected Components of Hurwitz Schemes and Malle's Conjecture

Seyfi Türkelli|ArXiv.org|Sep 5, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 8被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、Hurwitzスキームによる非幾何的連結な被覆の取り扱いを組み込むことで、判別式が有界な数体拡大の数を数えるMalleの予想の見直しを提案する。Fq-有理点に関するヒューリスティックを用いて、Fq(t) 上のN-拡大の漸近的挙動が、a(G) = a(N) を満たす正規部分群Gにおけるb(G,N,Fq)の最大値によって支配されることを示し、Klünersの反例を解消するとともに、アーベル群や関数体における既知の結果と整合する。

ABSTRACT

Let Z(X) be the number of degree-d extensions of F_q(t) with bounded discriminant and some specified Galois group. The problem of computing Z(X) can be related to a problem of counting F_q-rational points on certain Hurwitz spaces. Ellenberg and Venkatesh used this idea to develop a heuristic for the asymptotic behavior of Z'(X), the number of -geometrically connected- extensions, and showed that this agrees with the conjectures of Malle for function fields. We extend Ellenberg-Venkatesh's argument to handle the more complicated case of covers of P^1 which may not be geometrically connected, and show thatthe resulting heuristic suggests a natural modification to Malle's conjecture which avoids the counterexamples, due to Klüners, to the original conjecture.

研究の動機と目的

• Klünersによる反例のような関数体設定におけるMalleの予想の反例を解消すること。
• 幾何的連結な被覆に限ったEllenberg-Venkateshのヒューリスティックを、非幾何的連結な被覆へと拡張すること。
• 最大定数部分拡大を考慮したFq(t) 上のN-拡大の数に対する修正された漸近公式を提案すること。
• ねじれガロア作用と円分的制限を用いて、修正された予想を数体へ一般化すること。
• 修正された予想が既知の反例を避ける一方で、アーベル群のケースにおけるWrightの結果など既存の結果と一致することを裏付ける証拠を提供すること。

提案手法

• 次元dの幾何的連結なスキームHに対して|H(Fq)| ≈ q^d であるというヒューリスティックを用い、Hurwitzスキーム上のFq-有理点の数え上げを成分数え上げと関連付ける。
• Nielsenタプルを導入し、Hurwitzスキームのほぼ幾何的連結な成分をパラメトライズする離散的不変量とする。
• G ≤ N が正規部分群で商群N/Gが巡回群であるようなNG-被覆に対応する成分を分類する。
• 最小指数の共役類に対するガロア群の作用を用いて、Hurwitzスキームの次元と既約成分の数を計算する。
• b(G,N,Fq) を、ねじれガロア作用の下でG(Fq)がG内の最小指数共役類の集合に作用する軌道の数として定義する。
• a(G) = a(N) を満たすすべてのG ≤ N におけるb(G,N,Fq)の最大値を取ることで修正された予想を提示し、ZN(Fq(t),X) の修正された漸近的挙動を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Klünersの反例のような反例を避けるために、Malleの予想をどのように修正できるか？
• RQ2 被覆が幾何的連結でない場合、判別式が有界なFq(t) 上のN-拡大の数の正しい漸近的挙動は何か？
• RQ3 Hurwitzスキームは最大定数部分拡大を伴うNG-被覆をどのようにパラメトライズするか？
• RQ4 共役類へのガロア作用が漸近的挙動における対数因子を決定する際に果たす役割は何か？
• RQ5 関数体における修正された予想を、一貫した対数指数の定義を用いて数体へ拡張できるか？

主な発見

• N = C3 ≀ C2 ≤ S6 および q ≡ 2 mod 3 の場合、判別式が有界なFq(t) 上のN-拡大の数は ≍ X^{1/2} log X であり、Klünersの反例と一致し、修正された予想が裏付けられる。
• N = (C3 ≀ C3) × C2 ≤ S18 および q ≡ 2 mod 3 の場合、漸近的挙動は ≍ X^{1/4} であり、修正された予想と整合的で、反例が解消される。
• 修正された予想は、商群が巡回群でa(G) = a(N) を満たすすべての正規部分群G ≤ N におけるb(G,N,Fq)の最大値を取ることで構成され、元のMalle予想が是正される。
• 数体における修正された予想では、共役類へのねじれガロア作用を用いてb(G,N,k)を定義し、b(N,k)はa(G) = a(N) を満たすようなGにおける最大値である。
• この結果は、アーベル群Nに対して、定数部分拡大を含まない拡大の数が支配的であり、このようなGが対数因子を増加させない場合、修正された予想はMalleの元の形に還元されることを示唆する。
• この手法により、既知の反例が効果的に排除されるとともに、アーベル群やQ上のS3, S4, S5の既存のケースと整合性を保つ。