[論文レビュー] Connected Components of The Space of Surface Group Representations

Nan-Kuo Ho, Chiu-Chu Melissa Liu|ArXiv.org|Mar 20, 2003

Advanced Algebra and Geometry参考文献 12被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、k ≠ 1,2,4 のとき、k 個の実射影平面の連結和にホメオモーフィックな非可換な曲面上の平坦 G-バンドルのモジュライ空間の連結成分の間の全単射を、π₁(G)/2π₁(G) の商群に確立する。ゴールドマンの可換な曲面における結果を拡張する。q-ハミルトニアン G-空間およびリー群値モーメント写像の理論を用い、特に、共役写像 μᴳˡ の全射性とファイバー連結性に着目することで、任意の固定された位相的 G-バンドル上の平坦接続のモジュライ空間が空でなく連結であることを証明する。

ABSTRACT

Let G be a connected, compact, semisimple Lie group. It is known that for a compact closed orientable surface $Σ$ of genus $l >1$, the order of the group $H^2(Σ,π_1(G))$ is equal to the number of connected components of the space $Hom(π_1(Σ),G)/G$ which can also be identified with the moduli space of gauge equivalence classes of flat G-bundles over $Σ$. We show that the same statement for a closed compact nonorientable surface which is homeomorphic to the connected sum of k copies of the real projective plane, where $k eq 1,2,4$, can be easily derived from a result in A. Alekseev, A.Malkin and E. Meinrenken's recent work on Lie group valued moment maps.

研究の動機と目的

• 可換曲面上の平坦 G-バンドルのモジュライ空間の連結成分のゴールドマン分類を、非可換曲面へと拡張すること。
• コhomological 不変量を用いて、非可換曲面上の主 G-バンドルの位相的分類を解明すること。
• 固定された位相的 G-バンドル上の平坦接続のモジュライ空間の非空性と連結性を確立すること。
• q-ハミルトニアン G-空間およびリー群値モーメント写像の枠組みを用いて、可換および非可換の場合を統一すること。
• 平坦接続の文脈において、障害写像の幾何的・代数的意味を明確にすること。

提案手法

• 共役写像 μᴳˡ: G²ˡ → G が q-ハミルトニアン G-空間のリー群値モーメント写像であるという事実を活用する。
• アレクセエフ、マルキン、マイレンケンの結果を適用し、G が単連結かつコンパクトであるとき、このようなモーメント写像のすべてのファイバーが連結であることを用いる。
• 普遍被覆 ρ: ˜G → G を用いて表現を上げ、障害写像 o₂: Hom(π₁(Σ), G) → Ker ρ ≅ π₁(G) を定義する。
• 普遍係数定理を適用し、非可換 Σ に対して H²(Σ; π₁(G)) ≅ Ext(ℤ/2ℤ, π₁(G)) ≅ π₁(G)/2π₁(G) を計算する。
• 障害写像 o₂ を通じて、モジュライ空間の連結成分と H²(Σ; π₁(G)) の間の全単射を構成する。
• 障害理論と層コホモロジーを用いて、位相的 G-バンドルの分類と平坦接続のモジュライの両者を統合する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 k ≠ 1,2,4 のとき、k 個の ℝP² の連結和にホメオモーフィックな非可換曲面 Σ 上の平坦 G-バンドルのモジュライ空間の連結成分の数は何か？
• RQ2 非可換曲面上の位相的 G-バンドルの分類は、コホモロジー群 H²(Σ; π₁(G)) とどのように関係するか？
• RQ3 q-ハミルトニアン幾何学を用いて、非可換曲面上の固定された位相的 G-バンドル上の平坦接続のモジュライ空間の連結性を確立できるか？
• RQ4 非可換曲面上の平坦 G-バンドルのモジュライを分類する文脈において、障害写像 o₂ の役割は何か？
• RQ5 π₁(G)/2π₁(G) の構造は、非可換曲面上の平坦 G-バンドルの分類において、どのように自然に現れるか？

主な発見

• k ≥ 3 かつ k ≠ 1,2,4 のとき、閉じた非可換曲面 Σ が ℝP² の k 個の連結和にホメオモーフィックな場合、Hom(π₁(Σ), G)/G の連結成分の数は π₁(G)/2π₁(G) に全単射である。
• 固定された位相的 G-バンドルに対して、その平坦 G-バンドルのゲージ同値類のモジュライ空間は、空でなく連結である。
• コホモロジー群 H²(Σ; π₁(G)) は Ext(ℤ/2ℤ, π₁(G)) ≅ π₁(G)/2π₁(G) に同型であり、これは Σ 上の位相的 G-バンドルを分類する。
• 障害写像 o₂: Hom(π₁(Σ), G) → π₁(G) は π₁(G)/2π₁(G) を通して因数分解され、その像がモジュライ空間の連結成分を分類する。
• ゴールドマンの可換曲面における定理を一般化し、非可換の場合においても、同じコホモロジー不変量が連結成分を支配することを示した。
• 証明は、q-ハミルトニアン G-空間理論の結果として生じる、リー群値モーメント写像 μᴳˡ のファイバー連結性に依存しており、これは各バンドル型に対してモジュライ空間の連結性を保証する。