[論文レビュー] Connected Hopf algebras and iterated Ore extensions

Ken A. Brown, S. O'Hagan+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 8, 2013

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 28被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、ホップ代数のスケュー多項式拡張がホップ代数構造を備えるための条件を確立し、ホップ・オア拡張（HOE）の概念を導入する。特に対称的特徴0の体上では、繰り返しHOEが、連結でネーター的で、ゲルファンド＝キリロフ次元が有限なホップ代数を生成することを示している。これには、可解リー代数の包あらわし代数や、ユニポテンツ群の座標環が含まれる。

ABSTRACT

We investigate when a skew polynomial extension T = R[x; σ, δ] of a Hopf algebra R admits a Hopf algebra structure, substantially generalising a theorem of Panov. When this construction is applied iteratively in characteristic 0 one obtains a large family of connected noetherian Hopf algebras of finite Gelfand-Kirillov dimension, including for example all enveloping algebras of finite dimensional solvable Lie algebras and all coordinate rings of unipotent groups. The properties of these Hopf algebras are investigated.

研究の動機と目的

• ホップ代数 $ R $ のスケュー多項式拡張 $ T = R[x;\sigma,\delta] $ が、$ R $ の構造を拡張するホップ代数構造を備える条件を同定すること。
• パンフの定理（スケュー原始的不定元を備えたスケュー多項式拡張に関するもの）を、より広いクラスの拡張へ一般化すること。
• 繰り返し拡張を用いた、連結でネーター的で、有限なゲルファンド＝キリロフ次元を持つホップ代数の構成フレームワークを構築すること。
• 特に代数閉体の特徴0におけるアフィン可換ホップ代数の場合に、その構造を特徴づけること。
• 繰り返しHOEが多項式的恒等式を満たす条件を調査し、特徴0ではそれが可換でなければならないことを示すこと。

提案手法

• ホップ・オア拡張（HOE）の概念を導入する。これは、ホップ部分代数 $ R $ の構造を拡張するホップ代数構造を備えるスケュー多項式拡張 $ T = R[x;\sigma,\delta] $ として定義される。
• 定理2.4における恒等式 (21)、(22)、(23) を含む、$ T $ がホップ代数であるための $ \sigma $、$ \delta $、$ \Delta(x) $、$ S(x) $ に関する必要十分条件を導出する。
• 特徴0の連結な場合、$ \Delta(x) = 1 \otimes x + x \otimes 1 + w $（$ w \in R \otimes R $）かつ $ a = 1 $ とし、構造を単純化する。
• 帰納法を用いて、繰り返しHOE（IHOE）を、HOEの鎖として定義し、このような代数が連結でネーター的であり、GK次元が拡張の数に等しいことを証明する。
• ネールシュタットの定理と加群論的議論を適用し、$ R $ が可換で $ T $ が多項式的恒等式を満たすならば、$ \delta $ は内包的であり $ w = 0 $ であることを示し、可換性に至る。
• 巻き込み自己同型と特性群の理論を活用し、$ \sigma $ の構造を分析し、$ \sigma $ が特性 $ \chi $ に関連する左巻き込み自己同型でなければならないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホップ代数 $ R $ のスケュー多項式拡張 $ T = R[x;\sigma,\delta] $ が、$ R $ の構造を拡張するホップ代数構造を備えるための条件は何か？
• RQ2 特徴0の連結な場合、このような拡張における不定元 $ x $ のコプロダクトは常に $ \Delta(x) = 1 \otimes x + x \otimes 1 + w $ の形に持ち込めるともいえるか？
• RQ3 包あらわし代数の可解リー代数やユニポテンツ代数群の座標環といった、古典的な連結ホップ代数は、どのようにして繰り返しHOEとして現れるか？
• RQ4 特徴0における多項式的恒等式は、IHOEにどのような制約を課えるか？
• RQ5 巻き込み自己同型と特性群の構造は、$ \sigma $ と $ \delta $ の形にどのように影響を与えるか？

主な発見

• スケュー多項式拡張 $ T = R[x;\sigma,\delta] $ が、$ R $ の構造を拡張するホップ代数構造を備えるのは、$ \sigma $ が特性 $ \chi $ に関連する左巻き込み自己同型であり、かつ $ \sigma $、$ \delta $、$ w $、$ a $ が定理2.4における恒等式 (21)、(22)、(23) を満たすとき、かつそのときに限り成り立つ。
• 代数的に閉じた体の特徴0の連結な場合、$ \Delta(x) = 1 \otimes x + x \otimes 1 + w $（$ w \in R \otimes R $）であり、$ \varepsilon(x) = 0 $、$ S(x) = - (x + \sum w_1 S(w_2)) $ が成り立つ。
• 特徴0の体上の長さ $ n $ の繰り返しHOEは、連結でネーター的で、ゲルファンド＝キリロフ次元が $ n $ であるホップ代数であり、$ \Delta(x_i) = 1 \otimes x_i + x_i \otimes 1 + w^{i-1} $（$ w^{i-1} \in H_{(i-1)} \otimes H_{(i-1)} $）を満たす。
• すべての有限次元可解リー代数の包あらわし代数およびすべてのユニポテンツ代数群の座標環は、特徴0において繰り返しHOEとして現れる。
• 特徴0の体上のIHOEが多項式的恒等式を満たすならば、それは可換でなければならない。これは、自己同型 $ \sigma $ が自明で、$ \delta $ が内包的であるという事実により示される。
• 可換な場合、$ x $ で生成されるイデアル $ I(T) $ は $ I(T) \cap R = 0 $ を満たし、$ R $ が整域であれば $ w = 0 $ である。これにより $ x $ はスケュー原始的となり、$ \sigma $ が巻き込み自己同型で、$ \delta $ が内包的であることが強制される。