[論文レビュー] Connected sums of constant mean curvature surfaces in Euclidean 3 space

Rafe Mazzeo, Frank Pacard+1 more|ArXiv.org|May 12, 1999

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 7被引用数 5

ひとこと要約

本論文は、ユークリッド3次元空間における非退化な定常平均曲率（CMC）表面を、平行で逆向きの接平面を持つ2つの非退化なCMC表面を接続することで、新たなコンパクトなCMC表面を構成する一般化された接合定理を確立する。得られる表面は位相的に連結和である。一般にパラメータを選んだ場合、新たな表面は非退化のままであり、定常平均曲率を維持する。

ABSTRACT

We establish a general `gluing theorem', which states roughly that if two nondegenerate constant mean curvature surfaces are juxtaposed, so that their tangent planes are parallel and very close to one another, but oppositely oriented, then there is a new constant mean curvature surface quite near to this configuration (in the Hausdorff topology), but which is a topological connected sum of the two surfaces. Here nondegeneracy refers to the invertibility of the linearized mean curvature operator. This paper treats the simplest context for our result namely when the surfaces are compact with nonempty boundary, however the construction applies in the complete, noncompact setting as well. The surfaces we produce here are nondegenerate for generic choices of the free parameters in the construction.

研究の動機と目的

• 既存の表面を幾何学的接合手順で接続することで、新たな定常平均曲率（CMC）表面を構成する一般化された手法を開発すること。
• ユークリッド3次元空間における位相的連結和操作の過程で、定常平均曲率性を保つという課題に取り組むこと。
• 幾何的解析における安定性および一意性に不可欠である、自由パラメータの一般的選択に対して、結果の表面が非退化であることを保証すること。
• この構成を境界付きコンパクト表面および完全な非コンパクトCMC表面の両方へ拡張すること。
• 摂動および逆関数定理の技法を用いて、このような接合CMC表面の存在を厳密に解析的枠組みで提供すること。

提案手法

• 定常平均曲率を定義する非線形偏微分方程式系を解くために、バナッハ空間設定における逆関数定理に基づく摂動的アプローチを用いる。
• 平行で逆向きの接平面を持つ2つの非退化なCMC表面を、小さな距離で隣接させることで、モデル近似解を構築する。
• 接合を滑らかに行い、CMC条件を一次の近似で保つために、分区画およびカットオフ関数を適用する。
• 陰関数定理を用いて補正項を導入し、平均曲率を正確にゼロに調整することで、最終的な表面が定常平均曲率を持つことを保証する。
• 近似解における線形化平均曲率作用素の逆可換性を検証し、近似解の近くに真の解が存在することを保証する。
• 元の表面の非退化性（線形化作用素の可逆性）を用いて、一般のパラメータ選択に対して、接合された表面が非退化であることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 R³における2つの非退化なCMC表面を、位相的に連結和である新たなCMC表面に接合できるか？
• RQ2 接合手順が定常平均曲率性を保つために、どのような幾何的および解析的条件下が必要か？
• RQ3 接合パラメータの一般的選択に対して、結果の表面の非退化性をどのように保証できるか？
• RQ4 この方法は、境界付きコンパクト表面から完全な非コンパクトCMC表面へどの程度拡張可能か？
• RQ5 線形化平均曲率作用素は、接合問題の可解性を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• 2つの与えられた非退化なCMC表面の位相的連結和として、新たなCMC表面を構成する一般化された接合定理が確立された。
• 表面がほぼ平行で逆向きの接平面を持つ場合、得られる表面は初期の隣接配置にハウスドルフ位相で任意に近くなる。
• この構成は、境界付きコンパクト表面および完全な非コンパクトCMC表面の両方に対して有効である。
• 構成における自由パラメータの一般的選択に対して、得られるCMC表面は非退化であり、線形化平均曲率作用素が可逆であることを意味する。
• この方法は、バナッハ空間フレームワークにおける逆関数定理に依拠しており、元の表面の非退化性が重要な仮定である。
• 近似解を正確にCMC方程式を満たすように補正する摂動的議論により、接合表面の存在が証明された。