[論文レビュー] Connectedness and Hamiltonicity of graphs on vertex colorings

Daniel C. McDonald|arXiv (Cornell University)|Jul 19, 2015

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、グラフ $ H $ の適切な $ k $-彩色を頂点とするグラフ $ G^j_k(H) $ を導入し、分析する。頂点間の辺は、高々 $ j $ 個の頂点からなる連結部分グラフ上で異なる彩色の間を結ぶ。主な貢献は、$ H $ が奇数個の頂点をもつ部集合からなる完全 $ k $-部グラフであるとき、$ G^1_{k+1}(H) $ のハミルトン性の必要十分条件を確立し、$ h_{k+1}(H) = 1 $ が、$ H $ の各部集合が奇数のサイズをもつことと同値であることを示したことである。

ABSTRACT

Given a graph $H$, let $G^j_k(H)$ be the graph whose vertices are the proper $k$-colorings of $H$, with edges joining two colorings if $H$ contains a connected subgraph on at most $j$ vertices that includes all vertices where the colorings differ. Properties of $G^1_k(H)$ have been investigated before, including connectedness and Hamiltonicity. We introduce and study the parameters $g_k(H)$ and $h_k(H)$, which denote the minimum $j$ such that $G^j_k(H)$ is connected or Hamiltonian, respectively.

研究の動機と目的

• グラフ $ H $ の適切な $ k $-彩色を頂点とするグラフ $ G^j_k(H) $ を定義・分析すること。頂点間の辺は、高々 $ j $ 個の頂点からなる連結部分グラフ上で異なる彩色の間を結ぶ。
• パラメータ $ g_k(H) $ および $ h_k(H) $ を導入・研究すること。ここで $ g_k(H) $ は $ G^j_k(H) $ が連結となる最小の $ j $、$ h_k(H) $ は $ G^j_k(H) $ がハミルトン的となる最小の $ j $ を表す。
• 特に、完全 $ k $-部グラフで部集合のサイズがすべて奇数である場合に、$ h_k(H) = 1 $ となる必要十分条件を特定すること。
• 部集合サイズの偶奇性と $ G^1_k(H) $ のハミルトニシティとの間の構造的特徴づけを確立すること。

提案手法

• グラフ $ G^j_k(H) $ を、$ H $ の適切な $ k $-彩色を頂点とし、2つの彩色が高々 $ j $ 個の頂点からなる連結部分グラフ上で異なる場合に辺を張るものとして定義する。
• 頂点彩色の混合プロセスを用い、単一頂点の再彩色ステップを通じて適切な彩色間の遷移を探索する。
• ハイパーキューブ $ Q_{|X_i|}(b_i, c_i) $ のパスを組み合わせることで、$ G^1_{k+1}(H) $ にハミルトン閉路を構成する。ここで各部集合 $ X_i $ における2色の彩色をすべて含み、単色の極端な状態（$ b_i\cdots b_i $ および $ c_i\cdots c_i $）を除く。
• ハミルトン閉路が存在するためには、各部集合 $ X_i $ のサイズが奇数でなければならないことを示す。これは、そのような閉路がハイパーキューブ $ Q_{|X_i|}(b,c) $ において $ b\cdots b $ と $ c\cdots c $ の間にハミルトンパスを誘導する必要があることから導かれる。
• 部集合間でパスを連結する帰納法とパスの接続を用い、$ G^1_{k+1}(H) $ 全体にわたる完全なハミルトン閉路を構築する。このとき、すべての適切な $ (k+1) $-彩色が正確に一度だけ含まれるようにする。
• $ h_{k+1}(H) = 1 $ ならば各 $ |X_i| $ が奇数でなければならないことを、隣接する彩色の構造と $ G^1_{k+1}(H) $ における遷移の制約を分析することで確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられたグラフ $ H $ と整数 $ k $ に対して、$ G^j_k(H) $ が連結となる最小の $ j $ は何か？
• RQ2 与えられたグラフ $ H $ と整数 $ k $ に対して、$ G^j_k(H) $ がハミルトン的となる最小の $ j $ は何か？
• RQ3 $ H $ が完全 $ k $-部グラフであるとき、$ G^1_k(H) $ がハミルトン的であるような条件は何か？
• RQ4 完全 $ k $-部グラフにおける部集合サイズの偶奇性が、$ G^1_k(H) $ のハミルトニシティを決定づけるか？
• RQ5 $ h_k(H) = 1 $ であるための必要十分条件は、$ H $ のすべての部集合が奇数サイズであることか？

主な発見

• 完全 $ k $-部グラフ $ H $ に対して、$ h_{k+1}(H) = 1 $ が成り立つのは、$ H $ の各部集合 $ X_i $ が奇数個の頂点をもつとき、かつそのときに限り成り立つ。
• $ G^1_{k+1}(H) $ にハミルトン閉路が存在するのは、各 $ |X_i| $ が奇数であるときであり、このときハイパーキューブ $ Q_{|X_i|}(b_i, c_i) $ のパスを組み合わせて構成される。ここで、単色の頂点 $ b_i\cdots b_i $ および $ c_i\cdots c_i $ を除く。
• $ h_{k+1}(H) = 1 $ ならば、各 $ |X_i| $ が奇数でなければならない。そうでなければ、対応するハイパーキューブ内に $ b\cdots b $ と $ c\cdots c $ の間にハミルトンパスを構成できない。
• $ G^1_{k+1}(H) $ におけるハミルトン閉路の構成は、$ H $ のすべての適切な $ (k+1) $-彩色が正確に一度ずつ含まれるように保証され、$ k $ 色のみを用いる彩色と $ k+1 $ 色すべてを用いる彩色の両方をカバーする。
• $ G^1_{k+1}(H) $ の隣接構造により、異なる部集合におけるパス間の遷移が有効であることが保証され、サイクル内でのインデックス $ a_i $ と $ a_{i+1} $ の非隣接性に依存している。