[論文レビュー] Connecting the Hamiltonian structure to the QAOA energy and Fourier landscape structure

Michał Stęchły, Lanruo Gao+3 more|arXiv (Cornell University)|May 23, 2023

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 5

ひとこと要約

本論文は、ハミルトニアンの構造—特に項の順序、係数、トポロジー—がQAOAコストランドスケープおよびそのフーリエ変換に与える影響を調査する。粗さ指標を導入し、orqvizを用いてランドスケープを可視化することで、著者らは、大きな係数の差異や高次項がランドスケープの粗さを増加させること、一方で構造的対称性は粗さを低減することを示し、最適化手法の選定や問題固有の設計に役立つ知見を提供する。

ABSTRACT

In this paper, we aim to expand the understanding of the relationship between the composition of the Hamiltonian in the Quantum Approximate Optimization Algorithm (QAOA) and the corresponding cost landscape characteristics. QAOA is a prominent example of a Variational Quantum Algorithm (VQA), which is most commonly used for combinatorial optimization. The success of QAOA heavily relies on parameter optimization, which is a great challenge, especially on scarce noisy quantum hardware. Thus understanding the cost function landscape can aid in designing better optimization heuristics and therefore potentially provide eventual value. We consider the case of 1-layer QAOA for Hamiltonians with up to 5-local terms and up to 20 qubits. In addition to visualizing the cost landscapes, we calculate their Fourier transform to study the relationship with the structure of the Hamiltonians from a complementary perspective. Furthermore, we introduce metrics to quantify the roughness of the landscape, which provide valuable insights into the nature of high-dimensional parametrized landscapes. While these techniques allow us to elucidate the role of Hamiltonian structure, order of the terms and their coefficients on the roughness of the optimization landscape, we also find that predicting the intricate landscapes of VQAs from first principles is very challenging and unlikely to be feasible in general.

研究の動機と目的

• ハミルトニアン構造がQAOAコストランドスケープの形状と複雑さにどのように影響するかを理解すること。
• 項の順序、係数の大きさ、トポロジーなどのハミルトニアンの特性のうち、ランドスケープの粗さに最も顕著に影響を与える要因を特定すること。
• コストランドスケープおよびフーリエランドスケープにおける粗さを定量化するための定量的指標を開発すること。
• 変分量子アルゴリズム（VQA）において、第一原理からランドスケープの複雑さを予測可能かどうかを検討すること。
• ハミルトニアンの構造的対称性が、より頑健で粗さの少ない最適化ランドスケープをもたらすことを示すこと。

提案手法

• orqvizライブラリを用いて、最大20キュービットおよび5局所ハミルトニアンの1層QAOAコストランドスケープを可視化する。
• コストランドスケープのフーリエ変換を計算し、周波数成分を分析し、ハミルトニアン構造と関連付ける。
• コストランドスケープおよびフーリエランドスケープの両方の粗さ指標を導入し、ランドスケープの複雑さを定量化する。
• 係数の変更、項の追加・削除、項の順序の変更によってハミルトニアンを体系的に変更し、粗さへの影響を評価する。
• スペクトル解析を用いて、フーリエランドスケープにおける高周波成分と高次項および係数の不均衡の存在を関連付ける。
• 3正則グラフなどから導かれる構造的ハミルトニアンのランドスケープを、ランダム化されたバージョンと比較し、頑健性および摂動への影響を評価する。

Figure 1: Cost landscape scans of the Hamiltonians $H_{1}$ (a) and $H_{2}$ (b) with $p=1$ layer QAOA. The scans visually demonstrate that even though $H_{1}$ has an apparently simpler structure than $H_{2}$ , its cost landscapes exhibit many more local minima which are likely to lead to difficult op

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハミルトニアン係数の相対的な大きさは、QAOAコストランドスケープの粗さにどのように影響するか？
• RQ2 高次項（例：4体相互作用）は、QAOAランドスケープにおける複雑さおよび局所的最小値の数をどの程度増加させるか？
• RQ3 ハミルトニアンの元となる構造—例えばグラフ問題から導かれるもの—は、摂動に対してランドスケープの頑健性にどのように影響するか？
• RQ4 コストランドスケープおよびフーリエランドスケープにおける粗さ指標は、QAOAにおける最適化の難易度を予測するために使用可能か？
• RQ5 キュービット数やハミルトニアンの総項数が、ランドスケープの粗さに独立して影響を与えるか？

主な発見

• 特に1つの項が支配的になると、周波数の強調が顕著になるため、ハミルトニアン係数の相対的な大きさが大きいほどランドスケープの粗さが顕著に増加する。
• 高次項の存在は、フーリエスペクトルにおける最大周波数を上昇させ、より多くの停留点および局所的最小値をもたらす。
• 3正則グラフから導かれるような構造的対称性を持つハミルトニアンは、粗さが低く、微小な摂動に対しても頑健である。
• キュービット数やハミルトニアンの総項数は、独立して粗さを増加させない。むしろ、ランドスケープの集中を引き起こし、特徴の複雑さが低下する。
• 構造的ハミルトニアンではパラメータの集中が観察され、共通する構造的性質を持つQAOA問題の族を一括して研究する可能性が示唆される。
• 本研究は、係数、項の順序、トポロジーの複雑な相互作用のため、第一原理からのVQAランドスケープの予測は、導入された指標があっても依然として極めて困難であることを確認した。

Figure 2: Cost and Fourier landscapes scans for the Hamiltonians ${H(c)=Z_{0}+Z_{1}+cZ_{0}Z_{1}}$ , with $c=\{1,5,10,20\}$ . The analytically calculated frequencies are shown in Table 1 and match the frequencies observed in the numerical experiments up to finite-size artifacts.