[論文レビュー] Connection between the harmonic analysis on the sphere and the harmonic analysis on the one-sheeted hyperboloid: an analytic continuation viewpoint

J. Bros, G. A. Viano|arXiv (Cornell University)|May 12, 1993

Geophysics and Gravity Measurements被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、複素化された双曲面上の正則核関数の解析接続を通じて、球面上の調和解析と1枚の双曲面上の調和解析との間の深い分析的関係を確立する。球面上の核関数のフーリエ＝レジェンドル係数が、双曲面上のボルテラ型核関数の球面ラプラス変換に拡張されることを示し、SO(d,C)-不変かつ中程度の成長を示す核関数を用いることで、これらの対称空間における畳み込みおよびスペクトル論の統一的取り扱いが可能になる。

ABSTRACT

In a previous paper $[$B,V-1$]$, an algebra of holomorphic ``perikernels'' on a complexified hyperboloid $ X^{(c)}_{d-1} $ (in $\Bbb C^d)$ has been introduced; each perikernel $ {\cal K} $ can be seen as the analytic continuation of a kernel $ {\bf K} $ on the unit sphere $ \Bbb S^{d-1} $ in an appropriate ``cut-domain'' , while the jump of $ {\cal K} $ across the corresponding ``cut'' defines a Volterra kernel $ K $ (in the sense of J. Faraut $\lbrack$Fa-1$ brack$) on the one-sheeted hyperboloid $ X_{d-1} $ (in $ \Bbb R^d). $ \par In the present paper, we obtain results of harmonic analysis for classes of perikernels which are invariant under the group $ { m SO}(d,\Bbb C) $ and of moderate growth at infinity. For each perikernel $ {\cal K} $ in such a class, the Fourier-Legendre coefficients of the corresponding kernel $ {\bf K} $ on $ \Bbb S^{d-1} $ admit a carlsonian analytic interpolation $ ilde F(λ) $ in a half-plane, which is the ``spherical Laplace transform''\ of the associated Volterra kernel $K$ on $ X_{d-1}. $ Moreover, the composition law $ {\cal K }= {\cal K}_1\ast^{( c)}{\cal K}_2 $ for perikernels (interpreted in terms of convolutions for the

研究の動機と目的

• 単位球面 S^{d-1} と R^d 内の1枚の双曲面 X_{d-1} における調和解析の間の厳密な関係を確立すること。
• 球面上の核関数が、C^d 内の複素化された双曲面 X^{(c)}_{d-1} 上の核関数にどのように解析接続されるかを調査すること。
• これらの核関数のカットを越えるジャンプが、実双曲面上のボルテラ型核関数としてどのように生成されるかを特定すること。
• 球面上の核関数のフーリエ＝レジェンドル係数が、ボルテラ型核関数の球面ラプラス変換に対応するカルソン型の解析的補間を経て、半平面上の関数として得られることを示すこと。
• 双曲面上の畳み込み作用素に対応する核関数の合成則 ∗^{(c)} を、SO(d,C)-不変性と無限遠における中程度の成長条件を満たすように構築すること。

提案手法

• 著者らは、C^d 内の複素化された双曲面 X^{(c)}_{d-1} ⊂ C^d 上に、複素直交群 SO(d,C) に対して不変な正則核関数のクラスを導入する。
• 各核関数 K̃ は、単位球面 S^{d-1} 上の核関数 K を C^d 内の適切なカット領域へ解析接続することで構成される。
• K̃ のカット領域を越えるジャンプが、ファラウの意味で実1枚の双曲面 X_{d-1} ⊂ R^d 上のボルテラ型核関数 K を与えることが示された。
• 球面上の核関数 K のフーリエ＝レジェンドル係数が、カルソンの定理を用いて半平面に解析接続され、関数 F̃(λ) として得られる。この関数は、双曲面上の関連するボルテラ型核関数 K の球面ラプラス変換として同定される。
• 核関数の合成則 ∗^{(c)} が定義され、これは双曲面上の畳み込みに対応し、SO(d,C)-不変性および無限遠における中程度の成長を保つ。
• 理論は関数解析に基づき、複素解析、積分作用素、対称空間上の表現論の道具が用いられる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 球面上の調和解析を、解析接続を通じて1枚の双曲面上の調和解析とどのように結びつけることができるか？
• RQ2 核関数がカット領域を越える際のジャンプが、実双曲面上のボルテラ型核関数を生成するにあたり、果たす正確な役割は何か？
• RQ3 球面上の核関数のフーリエ＝レジェンドル係数は、双曲面上の核関数の球面ラプラス変換に対応する関数に解析接続可能か？
• RQ4 核関数の合成則 ∗^{(c)} は、SO(d,C)-不変性の下で、双曲面上の畳み込み作用素とどのように関係するか？
• RQ5 このような解析接続が、中程度の成長を保ち、スペクトル論的解釈を可能にするための条件は何か？

主な発見

• 球面上の核関数のフーリエ＝レジェンドル係数は、カルソンの解析的補間により半平面に拡張され、これは1枚の双曲面上の関連ボルテラ型核関数の球面ラプラス変換として同定される。
• SO(d,C)-不変核関数がカット領域を越えるジャンプを行うと、実双曲面上のボルテラ型核関数が得られ、これにより両者の調和解析の間の直接的な関係が確立される。
• 核関数の合成則 ∗^{(c)} は、双曲面上の畳み込みに対応し、解析接続の下でも代数的構造が保たれる。
• 考察対象の核関数クラスは SO(d,C) に対して不変であり、無限遠における中程度の成長を示すため、変換の収束性と正則性が保証される。
• ボルテラ型核関数 K の球面ラプラス変換は、元の S^{d-1} 上の核関数の球面フーリエ係数の解析接続として明示的に実現される。
• 本フレームワークにより、対称空間 S^{d-1} と X_{d-1} 間の統一的解析的ブリッジが提供され、スペクトル的および畳み込み的性質の移行が可能になる。