[論文レビュー] Connection by geodesics on globally hyperbolic spacetimes with a lightlike Killing vector field

Rossella Bartolo, Anna María Candela+1 more|arXiv (Cornell University)|May 5, 2014

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、完全な光的キリングベクトル場と完全なコーシー超曲面を備えたグローバルにハイパーボリックな時空において、2点が測地線で接続可能となるための特徴づけを確立する。摂動された標準静的時空の系列における極限の議論を用いて、このような点が測地線で接続可能であるための必要十分条件は、キリング場との内積が一定の符号を持つか、恒等的にゼロであるような $C^1$ 曲線で接続可能であることであることを証明する。主な帰結として、完全なコーシー超曲面を備えたグローバルにハイパーボリックな一般化平面波の測地線接続性が得られる。

ABSTRACT

Given a globally hyperbolic spacetime endowed with a complete lightlike Killing vector field and a complete Cauchy hypersurface, we characterize the points which can be connected by geodesics. A straightforward consequence is the geodesic connectedness of globally hyperbolic generalized plane waves with a complete Cauchy hypersurface.

研究の動機と目的

• 完全な光的キリングベクトル場と完全なコーシー超曲面を備えたグローバルにハイパーボリックな時空における2点が測地線で接続可能となる条件を特定すること。
• 時間的キリング場を有する静的時空における既知の測地線接続性の結果を、光的キリング場の極限ケースにまで拡張すること。
• このクラスの時空における測地線接続性の鋭い、内在的な基準を確立すること。時間的ケースに類似した形で。
• 結果の一般化平面波への適用を示し、グローバルにハイパーボリック性とコーシー超曲面の完全性のもとで、それらの測地線接続性が保証されることを確認すること。

提案手法

• 元の時空計量を、元の計量に収束する標準静的計量の系列に摂動する。
• 各摂動計量に適応した標準静的時空における測地線接続性定理の応用版を適用する。
• キリング場との内積を含む $C^1$ 曲線条件を用いて、接続測地線の系列に対する一様推定を得る。
• 適切なソボレフ空間および一様位相における測地線の系列の強い収束を確立する。
• 測地線の系列の極限を用いて、元の摂動なしの時空における元の2点を接続する測地線の存在を証明する。
• 変分法と関数の収束を活用して、極限測地線が必要なエネルギーおよび因果的条件を満たすことを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全な光的キリングベクトル場を備えたグローバルにハイパーボリックな時空における2点が測地線で接続可能となる条件は何か？
• RQ2 時間的キリング場を有する時空における測地線接続性の結果は、光的キリング場のケースにまで拡張可能か？
• RQ3 2点を結ぶ曲線に対して、光的キリング場を有する時空における測地線接続性を保証する内在的な幾何的条件は何か？
• RQ4 一般化平面波の測地線接続性は、グローバルにハイパーボリック性とコーシー超曲面の完全性の結果として得られるか？
• RQ5 時間的キリング場に用いられた極限の議論を光的ケースに適応可能か？新たな課題は何か？

主な発見

• 完全な光的キリングベクトル場と完全なコーシー超曲面を備えたグローバルにハイパーボリックな時空における2点は、キリング場との内積が一定の符号を持つか、恒等的にゼロであるような $C^1$ 曲線で接続可能であるための必要十分条件を満たすとき、測地線で接続可能である。
• 証明は極限の議論に依拠する：計量を標準静的時空の系列に摂動し、各々に既知の測地線接続性の結果を適用し、接続測地線の系列の極限を取る。
• 極限測地線は存在することが示され、因果的である。エネルギー関数が収束し、極限が因果的条件 $f(\gamma) \leq 0$ を満たすからである。
• 結果により、完全なコーシー超曲面を備えた任意のグローバルにハイパーボリックな一般化平面波は測地線で接続可能であることが確認された。
• 曲線に関する条件は鋭く、以前の一般化平面波に関する結果と整合しており、統一的な基準を提供する。
• この手法により、測地線接続性が一般に時空の極限において保存されないことが明らかになった。時間的キリング場から光的キリング場への結果の拡張における微妙さが浮き彫りになった。