[論文レビュー] Connection formulas for Askey--Wilson polynomials and related expansions

Howard S. Cohl, Wolter Groenevelt|arXiv (Cornell University)|Feb 17, 2026

Mathematical functions and polynomials被引用数 0

ひとこと要約

論文はAskey–Wilson多項式の他の族による展開を導出・解析し、q^{-1}-Al-Salam–Chihara多項式のPoisson核を導出し、結合係数を平衡4phi3-seriesとして表現し、様々なq-多項式への極限を示す。

ABSTRACT

We derive and study expansions of and over the Askey--Wilson polynomials. We study these expansions and examine some limits to the continuous dual $q$-Hahn, Al-Salam--Chihara, continuous big $q$-Hermite and continuous $q$-Hermite polynomials and their $q^{-1}$-analogues. The Poisson kernel for the infinite discrete orthogonality relation for the $q^{-1}$-Al-Salam--Chihara polynomials is derived which in a special case reduces to the Gupta--Masson biorthogonal rational ${}_4ϕ_3$-functions. This Poisson kernel implies new infinite series connection relations for the Askey--Wilson polynomials involving these rational ${}_4ϕ_3$-functions. We also consider various interesting limits.

研究の動機と目的

• q-超幾何フレームワーク内でのAskey–Wilson多項式の研究動機と極限ケースの理解を促進する。
• Askey–Wilson多項式を他の多項式族の観点から展開を導出・研究する。
• q^{-1}-Al-Salam–Chihara多項式のPoisson核を構築・解析し、その極限を検討する。
• 結合係数を平衡4phi3-seriesとして明示的に得る。
• 係数を用いた双直交性および表現論的解釈を探る。

提案手法

• p_n(x;a,b,c,d|q)をp_n(x;e,f,g,h|q)による展開として導出・研究する。
• 結合係数c_{k,n}を平衡4phi3-seriesとして計算する。
• q^{-1}-Al-Salam–Chihara多項式のPoisson核を構築・解析し、その極限を検討する。
• 双線形和とq^{-1}-Al-Salam–Chihara多項式の正規直交性を用いて恒等式を導出する。
• Gupta–Masson雙直交有理関数4phi3を含む関係を結びつけ、双直交性を考察する。
• 連続双対q-Hahn、Al-Salam–Chihara、連続大q-エルミート、連続q-エルミート多項式への極限を議論する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パラメータ(a,b,c,d)を持つAskey–Wilson多項式とパラメータ(e,f,g,h)を持つものとの明示的な結合公式は何か？
• RQ2 結合係数を平衡4phi3-seriesとして表現する方法と，特別な場合の簡略化は何か？
• RQ3 q^{-1}-Al-Salam–Chihara多項式のPoisson核の形はどうなり、Askey–Wilson多項式とどのように関連するか？
• RQ4 これらの展開は関連する族（連続双対q-Hahn、連続大q-エルミート、連続q-エルミートおよびq^{-1}類似体）への自然なq極限でどのように振る舞うか？
• RQ5 kまたはnの関数として見たとき、係数から生じる双直交性関係は何か？

主な発見

• 異なるパラメータ集合を持つAskey–Wilson多項式間の結合係数について、平衡4phi3-seriesの明示的な表現が得られる。
• q^{-1}-Al-Salam–Chihara多項式の無限離散直交性のPoisson核を導出し、特定のケースでGupta–Massonの双直交有理4phi3関数に還元することを示す。
• Poisson核の枠組みは、有理関数4phi3関数を含むAskey–Wilson多項式の新しい無限級数結合関係を生み出す。
• 連続双対q-Hahn、Al-Salam–Chihara、連続大q-エルミート、連続q-エルミートおよびq^{-1}類似体への極限が探究・議論される。
• 得られた係数の正交性および双直交性の性質は、q^{-1}-Al-Salam–Chihara理論と表現論的考察から確立される。