[論文レビュー] Connection on the theory space

Hidenori Sonoda|ArXiv.org|Jun 22, 1993

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 1被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、理論空間上の複合場の無限次元ベクトル bundle に接続を定義することによって、量子場理論の幾何的枠組みを導入する。相関関数を分析することで、短距離特異性—ベータ関数および異常次元によって支配される—が、この接続の曲率および幾何学と本質的に関連していることを示しており、摂動的正規化群の流れと演算子混合を統一的な微分幾何的記述で与える。

ABSTRACT

By studying the geometric properties of correlation functions on the theory space, we are naturally led to a connection for the infinite dimensional vector bundle of composite fields over the theory space. We show how the short distance singularities of the theory are determined by the geometry of the theory space, i.e., the connection, beta functions, and anomalous dimensions. (This is a summary of the talk given at Strings '93 in Berkeley. The unnecessary blank lines in the original version have been removed in this revised version.)

研究の動機と目的

• 理論空間を基底多様体とする量子場理論の幾何的記述を開発すること。
• 相関関数における短距離特異性が理論空間の内在的幾何学からどのように生じるかを理解すること。
• 摂動的正規化群の流れ、ベータ関数、異常次元を微分幾何的枠組み内で統一すること。
• 理論空間上の複合場の無限次元ベクトル bundle に自然な接続を確立すること。

提案手法

• 理論空間を、すべての可能な量子場理論をパラメータ化する多様体として扱う。
• 複合場を理論空間上の無限次元ベクトル bundle のセクションとみなす。
• 相関関数の幾何的性質を用いて、この bundle 上の接続を定義する。
• 接続の曲率が短距離特異性に関する情報を符号化している。
• 接続の幾何的構造を通じて、ベータ関数および異常次元が決定されることを示す。
• 微分幾何学を用いて、演算子混合および正規化群の進化を記述する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての量子場理論の空間内で、摂動的正規化群の流れをどのように幾何学的に記述できるか？
• RQ2 理論空間上の接続が、相関関数の短距離特異性を決定する役割を果たすか？
• RQ3 ベータ関数および異常次元は、理論空間の幾何的構造にどのように符号化されているか？
• RQ4 複合演算子のダイナミクスは、理論空間上の幾何的バンドルにおける平行移動として理解できるか？
• RQ5 接続の曲率と量子場理論における紫外発散の関係は何か？

主な発見

• 理論空間上の接続は、相関関数の幾何的解析から自然に生じる。
• 相関関数の短距離特異性は、接続の曲率、ベータ関数、異常次元によって決定される。
• この枠組みは、摂動的正規化群の流れと演算子混合を幾何学的に統一する。
• 複合場の無限次元ベクトル bundle には、物理的相関関数から導かれる標準的な接続が備わっている。
• 理論空間の幾何学は、量子場理論の完全な正規化構造を符号化している。
• 接続形式は、正規化群の進化が理論空間に沿った平行移動に等しいことを明らかにする。