[論文レビュー] Connections and jet fields

Arturo Echeverrı́a-Enrı́quez, Miguel C. Muñoz‐Lecanda+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 28, 2018

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、多様体の接続が、多重ベクトル場とジャンクション場を介して、一階および二階の偏微分方程式（PDE）系と同値であることを示す、ファイバー束とジャンクション束における接続の包括的レビューを提供する。特に、線形接続および計量接続が、接続の水平および垂直分解を通じて特徴づけられることを示し、共変微分が水平リフトおよび多様体の接接束におけるベクトル場の完全リフトに関連することを明らかにする。

ABSTRACT

In this review paper we discuss the different interpretations of the concept of connection in a fiber bundle and in a jet bundle, and relate it with first and second-order systems of partial differential equations (PDE's) and multivector fields. As particular cases we analyze the concepts of linear connections and connections in a manifold.

研究の動機と目的

• ファイバー束における接続の複数の同等な解釈を統一的かつ明確化し、その幾何学的および代数的構造に焦点を当てる。
• ジャンクション束における接続と二階偏微分方程式（SOPDE）との対応関係を、特に正規ジャンクション場を通じて確立する。
• ジャンクション束および多重ベクトル場の枠組みを用いて、多様体上の線形接続および接続を分析する。
• 水平および垂直分解が共変微分および平行移動を定義する役割を明らかにする。
• ジャンクション理論的形式主義を通じて、理論物理学および微分幾何学における接続の理解の幾何的基盤を提供する。

提案手法

• ジャンクション準同型のセクションのジャンクション延長を表すために、一階ジャンクション束 $J^1 ilde{ abla}$ を用いる。$J^1 ilde{ abla}$ の局所座標は $(x^ u, y^i, y^i_ u)$ である。
• 水平部分束 $\mathrm{H}(\nabla) \subset \mathrm{T}(J^1\tilde{\tau})$ を用いてファイバー束上の接続を定義する。局所フレームは $\left\{ \frac{\partial}{\partial x^\nu} - \Gamma^\rho_{\nu\mu} v^\mu \frac{\partial}{\partial v^\rho} \right\}$ である。
• 接接束 $\mathrm{T}(\mathrm{T}M)$ 上の水平および垂直射影 $\mathfrak{h}, \mathfrak{v}$ を導入し、ベクトル場の分解を可能にするとともに、共変微分を定義する。
• ベクトル場 $Y$ の完全リフト $Y^C$ を $\mathrm{T}M$ に適用し、水平および垂直成分に分解することで $\nabla_X Y$ を表現する。
• 接続を $\mathrm{T}(\mathrm{T}M) = \mathrm{V}(\tau) \oplus \mathrm{H}(\nabla)$ の分解として特徴づけ、$\mathrm{H}(\nabla)$ がクリスティオーフェル記号 $\Gamma^\rho_{\nu\mu}$ によって定まる。
• リウヴィルベクトル場およびその性質を用いて、特に接接束の文脈において線形接続を特徴づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ジャンクション場および多重ベクトル場を介して、ファイバー束における接続がどのように一階PDE系と同値となるか？
• RQ2 正規ジャンクション場を介して、$J^1\pi$ における接続と二階偏微分方程式（SOPDE）との間の明確な幾何的関係は何か？
• RQ3 多様体上の線形接続は、$\mathrm{T}(\mathrm{T}M)$ の水平および垂直分解を用いてどのように特徴づけられるか？
• RQ4 ベクトル場の完全リフトおよび水平射影が共変微分をどのように得るか？
• RQ5 ジャンクション束および多重ベクトル場の使用が、幾何学的力学における接続とPDEの取り扱いをどのように統一するか？

主な発見

• ファイバー束における接続は、ジャンクション場の可積分性および $J^1\pi$ 内の正規セクションの存在を通じて、一階PDE系と同値である。
• 多様体上の接続は、水平部分束 $\mathrm{H}(\nabla) \subset \mathrm{T}(\mathrm{T}M)$ を誘導し、局所フレーム $\left\{ \frac{\partial}{\partial x^\nu} - \Gamma^\rho_{\nu\mu} v^\mu \frac{\partial}{\partial v^\rho} \right\}$ を持つ。このフレームにより共変微分が定義される。
• 共変微分 $\nabla_X Y$ は、幾何学的に $[\mathrm{T}_p\tau(\mathfrak{h} \circ Y^C \circ X)](p)$ として実現される。ここで $Y^C$ は $Y$ の完全リフトである。
• 接接束 $\mathrm{T}(\mathrm{T}M)$ 上の水平および垂直射影 $\mathfrak{h}, \mathfrak{v}$ は、任意のベクトル場を分解可能であり、その局所表現はクリスティオーフェル記号を用いて明示的に与えられる。
• ベクトル束上の線形接続は、分解 $\mathrm{T}(\mathrm{T}M) = \mathrm{V}(\tau) \oplus \mathrm{H}(\nabla)$ を用いて特徴づけられ、$\mathrm{H}(\nabla)$ は接続係数 $\Gamma^\rho_{\nu\mu}$ によって定まる。
• 本稿は、ベクトル場 $Y$ の完全リフト $Y^C$ が水平および垂直成分に分解可能であり、垂直成分が $\mathfrak{V}(Y^C)$ を通じて共変微分 $\nabla_X Y$ を与えることを確立した。