[論文レビュー] Connections on central bimodules

Michel Dubois‐Violette, Peter W. Michor|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 1995

Advanced Topics in Algebra参考文献 12被引用数 63

ひとこと要約

この論文は、非可換代数上の中心的双モジュラーにおける導分に基づく接続を導入し、非可換な設定における線形接続および擬リーマン幾何の一般化を行う。導分と外部導分を用いて微分形式、接続、計量の枠組みを確立し、非退化性および実数性の条件の下でリーマン接続の一意性を証明する。

ABSTRACT

We define and study the theory of derivation-based connections on a recently introduced class of bimodules over an algebra which reduces to the category of modules whenever the algebra is commutative. This theory contains, in particular, a noncommutative generalization of linear connections. We also discuss the different noncommutative versions of differential forms based on derivations. Then we investigate reality conditions and a noncommutative generalization of pseudo-riemannian structures.

研究の動機と目的

• 導分に基づく微分計算を用いて、非可換幾何における線形接続および擬リーマン幾何の一般化を構築すること。
• 代数が可換であるとき標準的な接続に還元される中心的双モジュラー上の接続を定義し、それらを研究すること。
• 非退化な内積に対して実数性および対称性の条件を確立し、擬リーマン計量を一般化すること。
• 外部導分のリー代数およびコホモロジーを用いて、モーリタ不変な微分形式を同定すること。
• 非可換幾何における特徴類およびK理論の基礎的道具を整備することに焦点を当て、代数的構造および双モジュラーの圏に着目する。

提案手法

• Chevalley-Eilenberg複体 $ C({\rm Der}(A), A) $ を用いて、最小および最大の微分代数 $ \Omega_{{\rm Der}}(A) $ および $ \underline{\Omega}_{{\rm Der}}(A) $ を定義し、微分形式を一般化する。
• 内導分に関して不変な部分代数 $ \Omega_{{\rm Out}}(A) $ および $ \underline{\Omega}_{{\rm Out}}(A) $ を、縮約 $ i_X $ およびリー微分 $ L_X $ を用いて定義する。
• 中心的双モジュラー上の導分に基づく接続を、$ A $-線形写像 $ \nabla: \underline{\Omega}^1_{{\rm Der}}(A) \to \underline{\Omega}^1_{{\rm Der}}(A) \otimes_A \underline{\Omega}^1_{{\rm Der}}(A) $ として定義し、ライブニッツ則を満たすものとする。
• ねじれのない性質および計量適合性の条件を課して、非退化な実内積上のリーマン接続を定義する。
• $ ({\rm Der}(A) \otimes_{Z(A)} {\rm Der}(A))^* $ 上の双モジュラー自己同型 $ \sigma $ を導入し、擬計量適合性のために $ \sigma $-不変性を要請する。
• 実数的で非退化かつ $ \sigma $-不変な内積 $ g $ が $ \underline{\Omega}^1_{{\rm Der}}(A) $ 上に存在する場合、これは擬リーマン計量を一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 導分をベクトル場として用いることで、非可換幾何における線形接続をどのように一般化できるか？
• RQ2 非可換な設定において、非退化な実内積上にリーマン接続が存在し、一意であるための条件は何か？
• RQ3 微分形式および双モジュラー自己同型を用いて、非可換代数における擬リーマン構造をどのように一般化できるか？
• RQ4 $ \Omega_{{\rm Out}}(A) $ および $ \underline{\Omega}_{{\rm Out}}(A) $ は、微分形式のモーリタ不変一般化として果たす役割は何か？
• RQ5 どのような場合に $ \underline{\Omega}^1_{{\rm Der}}(A) \otimes_A \underline{\Omega}^1_{{\rm Der}}(A) $ が自己同型 $ \sigma $ に関して安定となり、これが計量の定義にとってなぜ重要なのか？

主な発見

• 非退化な実内積 $ g_* $ に対して、接続がねじれのない性質および計量適合性を満たす限り、リーマン接続は存在し、一意に定まる。
• 実接続 $ \nabla $ は、$ (\nabla_X Y)^* = \nabla_{X^*} (Y^*) $ を満たし、$ * $-構造と適合する。
• $ \underline{\Omega}^1_{{\rm Der}}(A) $ 上の内積 $ g $ が擬リーマン計量を一般化するためには、$ \sigma $-不変性、すなわち $ g = g \circ \sigma $ である必要がある。
• $ A $ が有限次元であるとき、$ \underline{\Omega}^1_{{\rm Der}}(A) \otimes_A \underline{\Omega}^1_{{\rm Der}}(A) = ({\rm Der}(A) \otimes_{Z(A)} {\rm Der}(A))^* $ が成り立ち、$ \sigma $-不変性が保証され、計量の定義が可能になる。
• $ \underline{\Omega}_{{\rm Out}}(A) $ は $ C_{Z(A)}({\rm Out}(A), Z(A)) $ に同型であり、微分形式のモーリタ不変一般化を提供する。
• 本フレームワークは、[13] で示唆されたように、対称性 $ \sigma $ を拡張することで他の微分計算への一般化が可能となる。