[論文レビュー] Connections over twisted tensor products of algebras

Javier López Peña|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2006

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、代数のねじれテンソル積における接続を、個々の因子上の接続から構成的に構築する方法を提示し、両方の入力接続が平坦である場合、その積接続が平坦であることを証明している。積接続の曲率がねじれ写像およびモジュールねじれ写像に依存しないことが示され、一貫性が保たれ、古典的積接続が非可換設定へ一般化される。さらに、量子平面 $k_q[x,y]$ 上のすべての積接続が明示的に計算されている。

ABSTRACT

Motivated by some results in classical differential geometry, we give a constructive procedure for building up a connection over a (twisted) tensor product of two algebras, starting from connections defined on the factors. The curvature for the product connection is explicitly calculated, and shown to be independent of the choice of the twisting map and the module twisting map used to define the product connection. As a consequence, we obtain that a product of two flat connections is again a flat connection. We show that our constructions also behaves well with respect to bimodule structures, namely being the product of two bimodule connections again a bimodule connection. As an application of our theory, all the product connections on the quantum plane are computed.

研究の動機と目的

• 代数の成分上の接続を用いて、ねじれテンソル積上の接続を体系的に構築するための方法を開発すること。
• ねじれテンソル積を用いて微分幾何学における古典的積接続を非可換設定へ一般化すること。
• 積接続の曲率がねじれ写像およびモジュールねじれ写像の選択に依存しないことを証明すること。
• 二つの平坦接続の積が、ねじれ積上でも平坦であることを示し、古典幾何学における重要な性質を拡張すること。
• 提案された構成を用いて、量子平面 $k_q[x,y]$ 上のすべての可能な積接続を計算すること。

提案手法

• 代数 $A$-加群 $E$ および $B$-加群 $F$ 上の接続を用いて、ねじれテンソル積 $A times_R B$ 上に積接続を定義する。その定義には、個々の接続およびねじれ写像を含む式を用いる。
• 写像 $R: B \bigotimes A \to A \bigotimes B$ 及びその誘導されるモジュールねじれ写像 $\tau_{F,A}: F \bigotimes A \to A \bigotimes F$ を用いて、要素のテンソル積への作用を定義する。
• 積接続 $\nabla$ を、$\nabla(e \otimes b, a \otimes f) = \nabla^{gr}(e \otimes b, a \otimes f) + \sum \varphi_i(a_j) \otimes 1 \otimes \omega_i \otimes b + \sum a \otimes \psi_k(b_l) \otimes 1 \otimes \eta_k$ として定義する。ここで $\varphi_i, \psi_k$ はゲージポテンシャルの成分である。
• 得られた作用素がライブニッツ則を満たし、積加群 $E \otimes F$ 上に適切に定義された接続をなすことを検証する。
• 積接続の曲率を計算し、両方の入力接続が平坦である場合、使用するねじれ写像にかかわらず曲率が消えることを示す。
• 特に、$R(y \otimes x) = qx \otimes y$ を満たす $k_q[x,y] = k[x] \rtimes_R k[y]$ に対してこの構成を明示的に適用し、ゲージポテンシャルを用いてすべての接続を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二つの代数上の接続をどのように組み合わせて、それらのねじれテンソル積上の接続を定義できるか？
• RQ2 得られる積接続の曲率は、ねじれ写像またはモジュールねじれ写像の選択に依存するか？
• RQ3 因子上の二つの平坦接続の積は、ねじれ積上でも平坦であるか？
• RQ4 この構成は、双モジュール接続へ拡張可能か？ その場合、双モジュール構造が保たれるか？
• RQ5 量子平面 $k_q[x,y]$ 上のすべての可能な積接続は何か？

主な発見

• ねじれテンソル積上の構成された積接続は、ねじれ写像およびモジュールねじれ写像の選択に依存しない。これにより、異なる実現における一貫性が保証される。
• 積接続の曲率が明示的に計算され、両方の入力接続が平坦である場合に曲率が消えることが示され、平坦性が積構成のもとで保存されることを証明する。
• 二つの平坦接続の積は、ねじれテンソル積上でも平坦な接続を定める。これは古典的結果が非可換設定へ一般化されたものである。
• この構成は双モジュール構造を保存する。つまり、二つの双モジュール接続の積も再び双モジュール接続である。
• 量子平面 $k_q[x,y]$ 上のすべての積接続が完全に計算され、$k[x]$ および $k[y]$ 上の入力接続のゲージポテンシャルを用いて表現されている。$q$-変形された作用を含む明示的な式が得られている。
• 自由加群上のグラスマン接続を $k[x]$ および $k[y]$ 上で拡張し、積構成を用いて量子平面上に自然な平坦積接続を導出する。