[論文レビュー] Connections under Symplectic Reduction

Izu Vaisman|ArXiv.org|Jun 4, 2000

Geometric and Algebraic Topology参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、ハミルトニアン群作用を伴うシンプレクティック多様体上のシンプレクティック接続が、Marsden-Weinsteinの商多様体上に還元されるための条件を確立する。もし、作用のモーメント写像のレベル集合が接続に関して自己平行であり、群作用がアフィン的であるならば、接続は一意に還元空間へと下方へ降下し、誘導されたシンプレクティック構造と両立する。この結果は、特徴的foliation上の投影可能接続を用いることで、プレシンプレクティック多様体へと拡張される。

ABSTRACT

In this note we give conditions which ensure the reduction of a symplectic connection in the process of a Marsden-Weinstein reduction and of the reduction of a presymplectic manifold.

研究の動機と目的

• ハミルトニアン群作用を伴うシンプレクティック多様体 (M, ω) 上のシンプレクティック接続が、Marsden-Weinsteinの商多様体上に還元されるための条件を同定すること。
• 与えられたシンプレクティック接続に関して、モーメント写像のレベル集合が自己平行である条件を特徴づけること。
• プレシンプレクティック形式と両立する投影可能接続を特徴づけることにより、プレシンプレクティック多様体への還元枠組みを拡張すること。
• プレシンプレクティック多様体に接続が存在することを確立し、特徴的foliationに関してそれが投影可能である条件を同定すること。
• 接続の還元を保証する幾何学的および代数的条件（例えばアフィン的モーメント写像やアティヤ類の消滅）を明確化すること。

提案手法

• シンプレクティック多様体 (M, ω) にハミルトニアン G-作用と G-等変モーメント写像 J: M → g* を備えたシンプレクティック接続 ∇ を定義する。
• 群作用が接続 ∇ を保存するアフィン的作用の概念を導入し、条件 Φg*(∇XY) = ∇Φg*X(Φg*Y) を満たすように定義する。
• ∇-平行移動が接ベクトル束 TC を保存する部分多様体 C = J⁻¹(ξ) を、自己平行部分多様体と定義する。
• C 上の G-不変ベクトル場 X, Y に対して、商写像 π: C → N = C/Gξ を用いて ∇′X̃Ỹ = π*(∇XY) とし、N 上の還元接続 ∇′ を構成する。
• 接続 ∇ がトーション自由かつシンプレクティックであることから、特徴的分布 Tℐ = (TC)⊥ω ∩ TC が保存されることを確認し、∇′ が適切に定義されることを保証する。
• プレシンプレクティック多様体の場合、横断的分布 S 上のボット型接続 ∇S と、ω(Θ(X′,Y′),Z′) = ½(DX′ω)(Y′,Z′) を満たす補正テンソル Θ を用いて ∇ を構成し、∇ω = 0 を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハミルトニアン G-作用を伴うシンプレクティック多様体 (M, ω) 上のシンプレクティック接続 ∇ が、Marsden-Weinstein還元多様体 N = C/Gξ 上に還元される条件は何か？
• RQ2 レベル集合 C = J⁻¹(ξ) が与えられたシンプレクティック接続 ∇ に関して自己平行であるのはいつか？
• RQ3 特徴的foliation ℐ に関して、プレシンプレクティック多様体 (M, ω) 上に投影可能なプレシンプレクティック接続が存在するための条件は何か？
• RQ4 特徴的foliation ℐ のアティヤ類は、正規バンドル上の投影可能接続の存在とどのように関係するか？
• RQ5 モーメント写像のアフィン的性質が、レベル集合の自己平行性および接続の還元性を保証する上で果たす役割は何か？

主な発見

• アフィン的ハミルトニアン G-作用と自己平行なレベル集合 C = J⁻¹(ξ)（正則値 ξ ∈ g* における）を備えたシンプレクティック多様体 (M, ω) 上のシンプレクティック接続 ∇ は、還元多様体 N = C/Gξ 上に一意に誘導されたシンプレクティック接続 ∇′ をもつ。
• 誘導された接続 ∇′ は、特徴的foliation ℐ = (TC)⊥ω ∩ TC が ∇ によって保存され、群作用がアフィン条件により ∇ を保存するため、適切に定義される。
• モーメント写像 J がアフィン的である（J が定数となるパスの ∇-水平リフトに沿って J* が定数）ならば、すべての正則値 ξ に対して C = J⁻¹(ξ) は自己平行である。
• 任意のプレシンプレクティック多様体 (M, ω) は、横断的分布 S と補正テンソル Θ を用いて構成されたプレシンプレクティック接続をもつ。
• プレシンプレクティック接続が特徴的foliation ℐ に関して投影可能であるための必要十分条件は、正規バンドル νℐ が投影可能接続をもつことであり、これはアティヤ類が消えるときに限り成立する。
• プレシンプレクティック多様体上に構成された接続 ∇ のトーションは I-値であり、X′,Y′,Z′ ∈ ΓTS に対して ω(T∇(X′,Y′),Z′) = 0 が成り立つため、商多様体上のシンプレクティック構造と両立する。