[論文レビュー] Connective algebraic K-theory

Shouxin Dai, Marc Levine|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 16被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、特性が0の体上の双次数付きの方向性双対理論として接続的代数的K理論を確立し、そのホモロジー理論を接続的G理論の変種と特定する。主な結果は、この理論とℤ[β]でテンソル積をとった代数的コボルドゥリズムとの同型であり、これは、lci写像を介した純次元的スキームに対して、自然かつ関手的な基本類を可能にする。

ABSTRACT

We examine the theory of connective algebraic K-theory, CK, defined by taking the -1 connective cover of algebraic K-theory with respect to Voevodsky's slice tower in the motivic stable homotopy category. We extend CK to a bi-graded oriented duality theory (CK', CK) in case the base scheme is the spectrum of a field k of characteristic zero. The homology theory CK' may be viewed as connective algebraic G-theory. We identify CK' theory in bi-degree (2n, n) on some finite type k-scheme X with the image of K_0(M(X,n)) in K_0(M(X, n+1)), where M(X,n) is the abelian category of coherent sheaves on X with support in dimension at most n; this agrees with the (2n,n) part of the theory defined by Cai. We also show that the classifying map from algebraic cobordism identifies CK' with the universal oriented Borel-Morel homology theory Ω_*^{CK}:=Ω_*\otimes_L\Z[β] having formal group law u+v-βuv with coefficient ring \Z[β]. As an application, we show that every pure dimension d finite type k scheme has a well-defined fundamental class [X] in Ω_d^{CK}(X), and this fundamental class is functorial with respect to pull-back for lci morphisms. Finally, the fundamental class maps to the fundamental class in G-theory after inverting β, and to the fundamental class in CH after moding out by β.

研究の動機と目的

• 代数的K理論のVoevodskyスライスタワーにおける0番目のスライスとして接続的代数的K理論を定義し、その性質を研究すること。
• この理論を特性が0の体上の双次数付きの方向性双対理論へ拡張すること。
• 得られたホモロジー理論をCaiの接続的K理論および代数的コボルドゥリズムと比較すること。
• 純次元的スキームの接続的コボルドゥリズム理論Ω*CKにおける自然な基本類を構成すること。
• この基本類が自然変換を介してチャウホモロジーおよびK理論へ正しく写像されることを示すこと。

提案手法

• モチビック安定ホモトピー圏における代数的K理論スペクトラの0番目のスライスとして接続的代数的K理論を定義する。
• スライスフィルトレーションを用いて、G理論の接続的アナログとしてホモロジー理論CK′_{*,*}を構成する。
• 有限型k-スキームXに対して、CK′_{2n,n}(X)をK₀(M_{(n)}(X))からK₀(M_{(n+1)}(X))への像として特定する。
• 代数的コボルドゥリズムからの分類写像を介して、CK′_{2*,*}とΩ* ⊗_ℚ ℤ[β]との同型を確立する。
• 代数的コボルドゥリズムの普遍性を用いて、lci準同型と整合する引き戻しを介して基本類を定義する。
• G₀理論の構造と接続的コボルドゥリズムとの同型を用いて、lci引き戻しにおける基本類の関手性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Voevodskyスライスタワーにおける代数的K理論の0番目のスライスは、既存の接続的K理論の構成とどのように関係しているか？
• RQ2 特性が0の体上の接続的K理論から、双次数付きの方向性双対理論を構成できるか？
• RQ3 接続的K理論のホモロジー理論と、代数的コボルドゥリズムとℤ[β]のテンソル積との間に自然な同型が存在するか？
• RQ4 接続的コボルドゥリズム理論における基本類は、lci準同型に関して関手的に振る舞うか？
• RQ5 自然写像を介して、CK′_{2*,*}における基本類はチャウホモロジーおよびK理論における基本類とどのように関係しているか？

主な発見

• ホモロジー理論CK′_{*,*}は、代数的コボルドゥリズムからの分類写像によって誘導される同型を介して、双次数付きの方向性ホモロジー理論としてΩ* ⊗_ℚ ℤ[β]と同型である。
• 任意の純次元dの有限型k-スキームXに対して、自然な基本類[X]_CK ∈ Ω_d^CK(X)が存在し、lci準同型に関して関手的である。
• 基本類[X]_CKは、写像Ω*^CK → G₀[β,β⁻¹]を介してG理論の基本類β^d[𝒪_X]へ写像される。
• 基本類[X]_CKは、商写像Ω*^CK → CH_*を介してチャウホモロジー類[X]_CHへ写像される。
• 同型Ω*^CK ≅ CK′_{2*,*}は、lci準同型に沿った引き戻しと整合するため、基本類の関手性が保証される。
• Caiの接続的K理論とモチビックスライス理論的バージョンとの間の不一致が解消され、K₀部において両者が一致することが示された。