[論文レビュー] Connective constant for a weighted self-avoiding walk on $\mathbb{Z}^2$

Alexander Glazman|arXiv (Cornell University)|Feb 21, 2014

Theoretical and Computational Physics参考文献 23被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、Yang-Baxter方程式およびパラフェルミオン観測量から導かれるプレートレット重みを備えた歪んだ$\theta$-平行四辺形格子（$\mathbb{Z}^2$）上での重み付き自己回避的ランダムウォークモデルを導入する。$\theta \in [\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}]$でパrameter化される臨界的重み族に対して、接続定数が正確に$\frac{1}{u_1}$であることを証明した。$u_1, u_2, v, w_1, w_2$の明示的公式は$\theta$の関数として与えられ、Duminil-CopinとSmirnovによるへぎれ格子の結果を一般化する。

ABSTRACT

We consider a self-avoiding walk on the dual $\mathbb{Z}^2$ lattice. This walk can traverse the same square twice but cannot cross the same edge more than once. The weight of each square visited by the walk depends on the way the walk passes through it and the weight of the whole walk is calculated as a product of these weights. We consider a family of critical weights parametrized by angle $θ\in[\fracπ{3},\frac{2π}{3}]$. For $θ=\fracπ{3}$, this can be mapped to the self-avoiding walk on the honeycomb lattice. The connective constant in this case was proved to be equal to $\sqrt{2+\sqrt{2}}$ by Duminil-Copin and Smirnov in \cite{DS10}. We generalize their result.

研究の動機と目的

• 自己回避的ランダムウォークの接続定数の正確な解をヘキサゴナル格子から、歪んだ$\\mathbb{Z}^2$格子上のより広いクラスの重み付きウォークに拡張すること。
• Yang-Baxter方程式およびパラフェルミオン観測量の整合性条件を満たす臨界的重み族を同定すること。
• この重み族に対して、重み付きウォークの指数的増加率（接続定数）が正確に$1/u_1$であることを証明すること。
• $\theta$の関数として明示的で閉形式の式で表される臨界的重み$u_1, u_2, v, w_1, w_2$を提供すること。

提案手法

• モデルは、各プレートレット構成（空、1本の弧、直線、2本の弧）に角度$\theta$に依存する重みが割り当てられた平行四辺形格子上に定義される。
• 分配関数は、固定された辺の中点から出発するすべての自己回避的ウォークの重みの和として定義される。
• 接続定数は、$\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{\tilde{c}_n} = 1/u_1$として導出され、ここで$\tilde{c}_n$は$n$本の弧を持つ重み付きウォークの和である。
• 臨界的重みはYang-Baxter方程式およびパラフェルミオン観測量の整合性から導かれ、観測量が離散的正則性条件を満たすように保証される。
• 重みは$\theta$の三角関数を用いた明示的表現で与えられ、$u_1$は接続定数の逆数である。
• $\theta = \pi/3$のとき、モデルは既知の接続定数$\sqrt{2 + \sqrt{2}}$を持つヘキサゴナル格子の場合に還元されることを示すことにより、解の妥当性を検証した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自己回避的ランダムウォークの接続定数の正確な解は、ヘキサゴナル格子を越えて、$\mathbb{Z}^2$上でのより広いクラスの重み付きモデルへ拡張可能か？
• RQ2 平行四辺形格子上のどの重み族が、パラフェルミオン観測量が離散的正則性を満たし、Yang-Baxter方程式を満たすか？
• RQ3 $\theta \in [\pi/3, 2\pi/3]$の連続的な角度族に対して、接続定数が正確に$1/u_1$である臨界的重み領域が存在するか？
• RQ4 Yang-Baxter方程式およびパラフェルミオン観測量から導かれる重みは、$O(n)$モデルの既知の臨界的重みとどのように関係するか？
• RQ5 重み付きウォークの$\theta$-弧と$(\pi-\theta)$-弧の長さを任意の正の整数に一般化しても、接続定数が正確に$1/u_1$のまま保たれるか？

主な発見

• $\theta = \pi/3$のとき、モデルはヘキサゴナル格子に還元され、接続定数は$\sqrt{2 + \sqrt{2}}$となり、Duminil-CopinとSmirnovの結果と整合する。
• 臨界的重み$u_1, u_2, v, w_1, w_2$は、$\sin$関数を含む三角関数的表現を用いて$\theta$の関数として明示的に与えられる。
• 接続定数は正確に$1/u_1$であり、$u_1$は$\frac{\sin(5\pi/4)\sin(5\pi/8 + 3\theta/8)}{\sin(5\pi/4 + 3\theta/8)\sin(5\pi/8 - 3\theta/8)}$として与えられる。
• 重みはYang-Baxter方程式を満たし、パラフェルミオン観測量が離散的正則性を満たすように保証され、正確な可解性が実現される。
• $\theta$-弧と$(\pi - \theta)$-弧に任意の正の整数長を割り当てても、接続定数が$1/u_1$のまま保たれ、解は有効である。
• $\theta = \pi/2$のとき、重みは対称的である：$u_1 = u_2$および$w_1 = w_2$であり、格子の回転対称性を反映している。