[論文レビュー] Connective constants and height functions for Cayley graphs

Geoffrey Grimmett, Zhongyang Li|arXiv (Cornell University)|Jan 2, 2015

Geometric and Algebraic Topology参考文献 21被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、群の性質に基づく群高さ関数（ユニモジュラーで、周期的差分を持つ調和的かつ線形成長関数）を導入することで、有限生成群のカイリー図形における接続定数の局所性を確立する。このような関数が存在するための必要十分条件は、群が特定の代数的性質（欠損数に関連）を持つことであると示され、それらを用いて接続定数がカイリー図形の局所同型に関して連続であることを証明する。これにより、可解群や自由群を含む広範な群のクラスにまで局所性定理が拡張される。

ABSTRACT

The connective constant $μ$($G$) of an infinite transitive graph $G$ is the exponential growth rate of the number of self-avoiding walks from a given origin. In earlier work of Grimmett and Li, a locality theorem was proved for connective constants, namely, that the connective constants of two graphs are close in value whenever the graphs agree on a large ball around the origin. A condition of the theorem was that the graphs support so-called “unimodular graph height functions”. When the graphs are Cayley graphs of infinite, finitely generated groups, there is a special type of unimodular graph height function termed here a “$ extit{group}$ height function”. A necessary and sufficient condition for the existence of a group height function is presented, and may be applied in the context of the bridge constant, and of the locality of connective constants for Cayley graphs. Locality may thereby be established for a variety of infinite groups including those with strictly positive deficiency. It is proved that a large class of Cayley graphs support unimodular graph height functions, that are in addition $ extit{harmonic}$ on the graph. This implies, for example, the existence of unimodular graph height functions for the Cayley graphs of finitely generated solvable groups. It turns out that graphs with non-unimodular automorphism subgroups also possess graph height functions, but the resulting graph height functions need not be harmonic. Group height functions, as well as the graph height functions of the previous paragraph, are non-constant harmonic functions with linear growth and an additional property of having periodic differences. The existence of such functions on Cayley graphs is a topic of interest beyond their applications in the theory of self-avoiding walks.

研究の動機と目的

• 無限で有限生成な群のカイリー図形における接続定数の局所性を確立すること。
• 特別なユニモジュラーグラフ高さ関数（調和的かつ線形成長）としての群高さ関数の存在に必要な十分条件を特定すること。
• 主要な群のクラスにおいて、接続定数の局所性定理をカイリー図形へ拡張するために、このような高さ関数の存在を証明すること。
• リーマンの性質とは独立して、カイリー図形上に非定数の調和関数（周期的差分付き）の構造と存在を調査すること。
• 非ユニモジュラー自己同型群に対処するため、商図形とモジュラ関数を用いてグラフ高さ関数を構成すること。

提案手法

• 群の理論的構造に基づき、H-差分不変性と線形成長を満たすユニモジュラーなグラフ高さ関数としての群高さ関数の概念を導入する。
• 群が群高さ関数をもつための必要十分条件は、交換子部分群を含む核を持つZへの準同型が存在し、欠損数条件を満たすこと（定理4.1）であることを証明する。
• 基本関数ψから出発し、反復的構成により調和的かつH-差分不変な関数を構築し、すべての軌道点で増加することを保証する。
• 非ユニモジュラー群に対しては、Sを安定化部分群で生成される正規部分群とする商図形G′ = G/Sを構成し、G′からGへの高さ関数の持ち上げを行う。
• モジュラ関数M(v) = |Stab_vw| / |Stab_wv| を用いて、軌道上に非定数の重み関数Mを定義し、それを用いて商図形上の高さ関数を構成する。
• 持ち上げ関数ψ(v) = ψ′(Sv) がG上のグラフ高さ関数であることを証明し、非ユニモジュラーな場合に調和的でないことがあることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限生成群のカイリー図形に群高さ関数が存在するための代数的条件は何か？
• RQ2 調和的でユニモジュラーなグラフ高さ関数を用いて、接続定数の局所性定理をカイリー図形へ拡張できるか？
• RQ3 周期的差分付きの調和関数の存在と、その背後にある群の構造との関係は何か？
• RQ4 非ユニモジュラー自己同型群に対して、グラフ高さ関数はどのように構成され、調和的性質を保つのか？
• RQ5 モジュラ関数は、非ユニモジュラーなカイリー図形における高さ関数の構成において、果たす役割は何か？

主な発見

• カイリー図形上に群高さ関数が存在するための必要十分条件は、交換子部分群を含む核を持つZへの準同型が存在し、欠損数が1以上であること（定理4.1）。
• 接続定数は局所的に安定している：2つのカイリー図形が単位元の近傍で大きな球において一致する限り、それらの接続定数は互いに近くなる。ただし、ユニモジュラーなグラフ高さ関数が存在することが前提。
• すべての無限で有限生成な自由可解群および自由冪零群は、群高さ関数をもつため、局所性条件を満たす。
• 非常に広いクラスのカイリー図形（特に、ほとんど可解群を含む）は、調和的かつ線形成長を満たすユニモジュラーなグラフ高さ関数を持つ。
• 非ユニモジュラー自己同型群に対しては、商図形を用いてグラフ高さ関数を構成可能だが、調和的でないことがある（祖父母図形の例で示された）。
• この構成により、商図形G′上で調和的でユニモジュラーなグラフ高さ関数が得られ、それが元の図形G上でグラフ高さ関数に持ち上げられる。調和的でない場合でも成立する。