[論文レビュー] Connective versions of TMF(3)

Donald M. Davis, Mark Mahowald|arXiv (Cornell University)|May 20, 2010

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 5被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、トポロジカルモジュラー形式スペクトラム TMF(3) の3つの接続的モデルを構築し、分析する。特に、環スペクトラルである $ X \wedge \operatorname{tmf} $ が、その環構造のおかげで好ましいモデルであることが示される。主な貢献は、アダムズ・スペクトル系列を用いた $ \operatorname{tmf}(3)_*(\mathbb{R}P^\infty) $ の完全な計算であり、Ext 計算とスペクトル系列技法を用いて $ X \wedge \operatorname{tmf} \wedge \Sigma \mathbb{R}P^\infty $ のホモトピー群を確立する。

ABSTRACT

We study three connective versions of the spectrum for topological modular forms of level 3. All three were described briefly by Mahowald and Rezk in [Pure Appl Math Quar (2009)], but we add much detail to their discussion. Letting tmf(3) denote our connective model which is a ring spectrum, we compute the tmf(3)-homology of RP^infty.

研究の動機と目的

• マホーランドとレツクが [8] で要約的に述べた、TMF(3) の3つの接続的モデルを明確化し、拡張すること。
• 環スペクトラルであるため、$ X \wedge \operatorname{tmf} $ が $ \operatorname{tmf}(3) $ の接続的モデルとして好ましいものであることを確立すること。
• $ \pi_*(X \wedge \operatorname{tmf} \wedge \Sigma \mathbb{R}P^\infty) $ を計算し、これは $ \operatorname{tmf}(3)_*(\mathbb{R}P^\infty) $ を与える。これは、TMF(3) を障害理論に応用するための第一歩である。
• 第二および第三のモデルに対する Ext 計算を、異なる構成にもかかわらず、第一のモデルと直接的に関連付けること。
• スペクトル系列解析を用いて、$ \operatorname{Ext}_{A_2}^{*,*}(L \otimes H^*\mathbb{R}P^\infty) $ のアダムズ・スペクトル系列における $ h_0 $-タワーと $ \eta^2 $-フックの一致を解消すること。

提案手法

• 下部クラスに指定された非自明なスティーナロード作用素を持つ9セルの CW コンプレックス $ Y $ を構成し、$ \alpha: \Sigma^3 Y \to S^0 $ として $ 2\nu $ を拡張する写像のマッピングコーンとしてスペクトラム $ X $ を得る。
• $ f: X \to bo $ を通じて $ X \wedge \operatorname{tmf} $ を環スペクトラルとして定義し、$ \tilde{f} = f \wedge 1 $ の合成を用いてマッピングコーン $ C $ を定義する。$ H^*(C) \cong \Sigma^4 A / A(\operatorname{Sq}^4, \operatorname{Sq}^5 \operatorname{Sq}^1) $ は $ A $-加群として与えられる。
• アダムズ・スペクトル系列 (ASS) を用いて $ \pi_*(X \wedge \operatorname{tmf} \wedge \Sigma \mathbb{R}P^\infty) $ を計算する。$ E_2 $-頁は $ \operatorname{Ext}_{A_2}^{s,t}(L \otimes H^*\mathbb{R}P^\infty) $ であり、$ L $ はある特定の $ A_2 $-加群である。
• スペクトル系列 $ \bigoplus_s \phi^s \operatorname{Ext}_{A_2}^{*,*}(\Sigma^{-s} C_s \otimes H^*\mathbb{R}P^\infty) $ を用いて $ E_2 $-頁の構造を分析し、$ h_0 $-タワーと $ \eta^2 $-フックの一致を解消する。
• $ v_2^8 $-周期性と $ \operatorname{Ext}_{A_2}(L \otimes Q) $ の既知の結果を用いて、スペクトル系列の完全な構造を特定し、その収束を確認する。
• フィルトレーションと和分解の修正を伴う、$ \pi_*(X \wedge \operatorname{tmf} \wedge \Sigma \mathbb{R}P^\infty) $ と $ \pi_*(C \wedge \mathbb{R}P^\infty) $ の間の完全系列を用いて、最終的なホモトピー群を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 接続的 TMF(3) スペクトラム $ \operatorname{tmf}(3) $ のホモトピー群、特に $ \operatorname{tmf}(3)_*(\mathbb{R}P^\infty) $ の状況におけるものとは何か？
• RQ2 TMF(3) の3つの接続的モデルは互いにどのように関係しているのか。なぜ $ X \wedge \operatorname{tmf} $ が好ましいモデルなのか？
• RQ3 アダムズ・スペクトル系列を用いて $ \pi_*(X \wedge \operatorname{tmf} \wedge \Sigma \mathbb{R}P^\infty) $ を計算するにはどうすればよく、$ E_2 $-頁の構造を解明するためにどのようなスペクトル系列技法が必要か？
• RQ4 $ v_2^8 $-周期性と $ A_2 $-加群構造は、$ L \otimes H^*\mathbb{R}P^\infty $ の Ext 群を決定するために果たす役割は何か？
• RQ5 $ h_0 $-タワーと $ \eta^2 $-フックが異なるフィルトレーション間でどのように一致するのか。パターンを閉じるにはどのような拡張が必要か？

主な発見

• ホモトピー群 $ \pi_*(X \wedge \operatorname{tmf} \wedge \Sigma \mathbb{R}P^\infty) $ を計算するアダムズ・スペクトル系列は $ E_2 $-頁で収束し、微分も拡張も存在しない。
• $ \pi_*(X \wedge \operatorname{tmf} \wedge \Sigma \mathbb{R}P^\infty) $ のホモトピー群は、$ \pi_*(C \wedge \mathbb{R}P^\infty) $ の群を修正することで得られる：$ e_2 = 0 $ である和分解を除き、$ e_1 \equiv 2 \pmod{4} $ のとき $ b_{e_1,0} $ と $ \eta b_{e_1,0} $ を除き、$ i \geq 1 $ のとき $ c_{8i+3,0} $（位数2）を加え、すべてのフィルトレーションを1ずつ減らす。
• $ X \wedge \operatorname{tmf} $ は環スペクトラルであるため、$ \operatorname{tmf}(3) $ の接続的モデルとして好ましいものであり、$ v_2 $ を逆にした後は他のモデルと同型である。
• $ h_0 $-タワーの底辺にある $ \eta^2 $-フックは、$ H^*(C) $ の構造に明確に現れており、スペクトル系列の構造を一致させるために不可欠であるが、$ s $-フィルトレーションのスペクトル系列では容易には見えない。
• $ \operatorname{Ext}_{A_2}^{s,t}(L \otimes H^*\mathbb{R}P^\infty) $ のアダムズ・スペクトル系列の $ E_2 $-頁は、$ v_2^8 $-周期性と $ \operatorname{Ext}_{A_2}(L \otimes Q) $ の既知の構造を用いて完全に決定される。
• 最終的な結果として、$ \operatorname{tmf}(3)_*(\mathbb{R}P^\infty) $ が完全に決定され、これは将来の障害理論への応用に不可欠である。