[論文レビュー] Connectives in Quantum and other Cumulative Logics

Daniel Lehmann|ArXiv.org|May 31, 2002

Logic, Reasoning, and Knowledge参考文献 6被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、量子論的および累積的非単調論理における接続詞——特に論理積、否定、論理和——を検討し、論理積が閉部分空間の積を介して適切に定義可能である一方で、標準的な量子論的否定（直交補空間によるもの）が否定の証明論的基準を満たさないことを示している。主たる貢献は、C論理とL論理における接続詞の形式的特徴付けであり、量子論的論理が適切な論理積と非標準的否定を支持するが、分配法則の不成立に起因して適切な論理和を備えないことを明らかにしている。

ABSTRACT

Cumulative logics are studied in an abstract setting, i.e., without connectives, very much in the spirit of Makinson's early work. A powerful representation theorem characterizes those logics by choice functions that satisfy a weakening of Sen's property alpha, in the spirit of the author's "Nonmonotonic Logics and Semantics" (JLC). The representation results obtained are surprisingly smooth: in the completeness part the choice function may be defined on any set of worlds, not only definable sets and no definability-preservation property is required in the soundness part. For abstract cumulative logics, proper conjunction and negation may be defined. Contrary to the situation studied in "Nonmonotonic Logics and Semantics" no proper disjunction seems to be definable in general. The cumulative relations of KLM that satisfy some weakening of the consistency preservation property all define cumulative logics with a proper negation. Quantum Logics, as defined by Engesser and Gabbay are such cumulative logics but the negation defined by orthogonal complement does not provide a proper negation.

研究の動機と目的

• 量子論的および累積的非単調論理における論理接続詞——論理積、否定、論理和——を特徴付けること。
• 直交補空間による標準的量子論的否定が、否定の証明論的基準を満たすかどうかを検討すること。
• 分配法則の不成立を踏まえて、論理和が量子論的論理で適切に定義可能かどうかを特定すること。
• [7]の範囲を超えて、非定義可能保存モデルを含むC論理とL論理の表現結果を拡張すること。
• ボルコフとフォン・ノイマンが観測可能量に関して期待した内容を踏まえ、古典的接続詞の形式的立場を明確にすること。

提案手法

• モデル理論的枠組みを用い、モデルの集合上の選択関数と帰結関係に基づくもので、[7]の手法を非定義可能集合を含むように一般化する。
• 累積性および2ループ性の概念を用いてC論理とL論理を特徴付け、定義可能性保存を要件としない一貫した表現が可能であることを示す。
• ヒルベルト空間における閉部分空間の積を用いて論理積を定義し、∧-R規則の妥当性を保証する。
• 直交補空間を用いて否定を分析し、¬-R2規則（背理法による証明）が成立しないことを示し、これが論理的意味での適切な否定でないことを示す。
• 分配法則の観点から論理和を検討し、分配的でない量子論的論理では、∨-R1および∨-R2を満たす適切な論理和が存在しないことを示す。
• R²における幾何的例（例えば）を用いて、¬-R2の不成立および標準的論理和の非存在を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的証明論的規則¬-R1および¬-R2を満たす、量子論的論理における適切な否定を定義可能か？
• RQ2 分配法則の不成立を踏まえて、量子論的論理が∨-R1および∨-R2を満たす良好に定義された論理和を支持するか、それとも構造的制約により不可能か？
• RQ3 C論理とL論理のそれらよりも追加の性質を量子論的論理が満たしているか、それともこれら広いクラスの性質のみを継承しているか？
• RQ4 直交補空間による標準的量子論的否定は論理的に適切か、それとも基本的な証明論的原則に失敗するか？
• RQ5 量子力学における観測可能量の否定が、直交補空間による否定として論理的に不適切である以上、それが観測可能量と見なせるか？

主な発見

• 量子論的論理における論理積は、閉部分空間の積を介して適切に定義可能であり、無限論理積も有効で、∧-R規則を満たす。
• 直交補空間による標準的量子論的否定は、¬-R2規則（背理法による証明）を満たさないため、論理的意味で適切な否定とは言えない。
• 一般の量子論的論理では適切な論理和が存在しない。これは分配法則の不成立に起因し、∨-R1および∨-R2を満たす論理和を備えるのは分配的量子論的論理に限られる。
• 量子論的論理はC論理およびL論理の両方の性質を満たすが、[7]で要請される一貫性の性質を満たさないため、より広範な表現枠組みが必要となる。
• 本稿は、量子論的論理における¬-R2の不成立が、分配法則が量子論的論理の弱みであるとボルコフとフォン・ノイマンが指摘したことに一致することを明らかにした。
• 結果として、量子論的論理における否定が物理的観測可能量に対応しない可能性が示唆され、量子力学における論理的否定の本質に関する基礎的問いが浮上する。