[論文レビュー] Connectivity and choosability of graphs with no $K_t$ minor

Sergey Norin, Luke Postle|arXiv (Cornell University)|Apr 22, 2020

Advanced Graph Theory Research参考文献 16被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、任意の $K_t$-minor を持たないグラフが、任意の $\beta > \frac{1}{4}$ に対して $O(t(\log t)^\beta)$-list-colorable であることを確立している。これは、従来の彩色数の上限をリスト彩色へと拡張したものである。主な革新点は、高連結な $K_t$-minor-free グラフにおける頂点数の新しい上界を確立したことであり、これにより構造的分解とリスト彩色の議論を組み合わせた証明が可能になった。

ABSTRACT

In 1943, Hadwiger conjectured that every graph with no $K_t$ minor is $(t-1)$-colorable for every $t\ge 1$. While Hadwiger's conjecture does not hold for list-coloring, the linear weakening is conjectured to be true. In the 1980s, Kostochka and Thomason independently proved that every graph with no $K_t$ minor has average degree $O(t\sqrt{\log t})$ and thus is $O(t\sqrt{\log t})$-list-colorable. Recently, the authors and Song proved that every graph with no $K_t$ minor is $O(t(\log t)^β)$-colorable for every $β> \frac 1 4$. Here, we build on that result to show that every graph with no $K_t$ minor is $O(t(\log t)^β)$-list-colorable for every $β> \frac 1 4$. Our main new tool is an upper bound on the number of vertices in highly connected $K_t$-minor-free graphs: We prove that for every $β> \frac 1 4$, every $Ω(t(\log t)^β)$-connected graph with no $K_t$ minor has $O(t (\log t)^{7/4})$ vertices.

研究の動機と目的

• $K_t$-minor-free グラフに対する $O(t(\log t)^\beta)$-colorability の境界を、Hadwiger の予想の弱体化に対応するリスト彩色へと拡張すること。
• 高連結性を満たす $K_t$-minor-free グラフにおける頂点数のタイトな上界を、特に接続度 $\Omega(t(\log t)^\beta)$ の場合に $O(t(\log t)^{3-5\beta+\delta})$ として確立すること。
• Kawarabayashi と Mohar が予想したように、Linear Hadwiger の予想がリスト彩色において成り立つかどうかを解明すること。
• 主な結果を可能にする構造的道具を提供すること——特に非対称な二部グラフに対する密度の新しい上限を用いること。

提案手法

• 非対称な $K_t$-minor を持たない二部グラフの密度に対する新しい上界を導入し、定理 1.3 を非対称な設定へと拡張する。
• この密度上限を用いて、定理 1.7 を導出し、接続度 $\Omega(t(\log t)^\beta)$ の $K_t$-minor-free グラフにおける頂点数が $O(t(\log t)^{3-5\beta+\delta})$ であることを制限する。
• 構造的結果を用いて、頂点数に関する帰納法と最小反例の議論を用いて定理 1.6 を証明する。
• 小さなコバウンダリーを持つ最小の頂点集合 $X$ を構成し、$X$ に誘導される部分グラフが $d = \lceil Ct(\log t)^\beta \rceil$-list-colorable であることを示す。
• 補題 7.2 を活用して、$|X| \leq t(\log t)^{3-5\beta+\delta}$ かつコバウンダリーのサイズが $Ct(\log t)^{\beta}$ 以下であるような部分集合 $X$ を特定し、帰納的彩色を可能にする。
• 既知の小規模グラフのリスト彩色数の境界（補題 6.3）を用いて、$X$ の外側の隣接頂点からの制約を除去した後、$G[X]$ が有効な $L'$-coloring を持つことを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の $\beta > \frac{1}{4}$ に対して、$K_t$-minor-free グラフに対する $O(t(\log t)^\beta)$-colorability の境界をリスト彩色へと拡張できるか？
• RQ2 接続度 $\Omega(t(\log t)^\beta)$ の $K_t$-minor-free グラフにおける頂点数の最大値は何か？（$\beta > \frac{1}{4}$）
• RQ3 高連結な $K_t$-minor-free グラフに対する構造的境界は、改善されたリスト彩色結果を可能にするか？
• RQ4 $K_t$-minor-free グラフのリスト彩色に対して、$O(t(\log t)^\beta)$ の境界はタイトか？
• RQ5 頂点分割とコバウンダリー制御に基づく戦略は、$t(\log t)^{1/4}$ 未満の接続度においても、境界の改善に拡張可能か？

主な発見

• 任意の $K_t$-minor を持たないグラフは、任意の $\beta > \frac{1}{4}$ に対して $O(t(\log t)^\beta)$-list-colorable である。これは Kawarabayashi と Mohar の予想を裏付けた。
• 任意の $\beta > \frac{1}{4}$ および $\delta > 0$ に対して、$Ct(\log t)^\beta$-connected な $K_t$-minor-free グラフは、高々 $t(\log t)^{3-5\beta+\delta}$ 個の頂点を持つ。
• 頂点数の境界は、第 5 章におけるランダム構成による下界により、定数因子を除いてタイトであることが示された。
• 定理 1.7 の構造的結果は、Böhme らの先行研究を上回り、グラフ最小小構造定理に依存せずに明示的かつ非指数的（sub-exponential）な頂点数の上限を提供する。
• 頂点分割とリスト割り当ての削減を組み合わせることで、退化性に基づく彩色の議論をリスト彩色へと成功裏に拡張した。
• この結果により、$O(t\sqrt{\log t})$ の境界よりも多項式対数的要因の改善があることから、線形 Hadwiger の予想が漸近的にリスト彩色において成り立つことが示された。