[論文レビュー] Connectivity and Convexity Properties of the Momentum Map for Group Actions on Hilbert Manifolds

K.R. Smith|arXiv (Cornell University)|Jul 15, 2014

Geometric and Algebraic Topology参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、強いシンプレクティック構造を備えたヒルバート多様体上の有限次元群作用に対して、モーメント写像の正則な一般値集合の連結性を、モース理論とバーレーのカテゴリ一様定理を用いて確立する。これに基づき、モーメント写像の像の凸性を証明し、ベースドループ群のような無限次元設定へのアティヤ＝ギルマン＝シュテルンバーグの凸性定理の一般化を達成する。

ABSTRACT

In the early $1980$s a landmark result was obtained by Atiyah and independently Guillemin and Sternberg: the image of the momentum map for a torus action on a compact symplectic manifold is a convex polyhedron. Atiyah's proof makes use of the fact that level sets of the momentum map are connected. These proofs work in the setting of finite-dimensional compact symplectic manifolds. One can ask how these results generalize. A well-known example of an infinite-dimensional symplectic manifold with a finite-dimensional torus action is the based loop group. Atiyah and Pressley proved convexity for this example, but not connectedness of level sets. A proof of connectedness of level sets for the based loop group was provided by Harada, Holm, Jeffrey and Mare in $2006$. In this thesis we study Hilbert manifolds equipped with a strong symplectic structure and a finite-dimensional group action preserving the strong symplectic structure. We prove connectedness of regular generic level sets of the momentum map. We use this to prove convexity of the image of the momentum map.

研究の動機と目的

• 有限次元群作用を備えた無限次元シンプレクティック多様体に対して、アティヤ＝ギルマン＝シュテルンバーグの凸性定理を一般化すること。
• 強いシンプレクティック構造を備えたヒルバート多様体の文脈において、モーメント写像の正則一般値集合の連結性を確立すること。
• レベル集合の連結性を活用することで、モーメント写像の像の凸性を示す一般枠組みを提供すること。
• アティヤの証明法（レベル集合の連結性に基づくもの）を、ベースドループ群のような無限次元設定に拡張すること。
• アティヤとプレスリーによるベースドループ群の凸性証明における欠落部分、すなわちレベル集合の連結性の証明を埋めること。

提案手法

• モーメント写像の成分に対してモース理論を適用し、H¹ノルムの下で特定の成分がパライス＝スメイル条件（条件C）を満たすことを示す。
• バーレーのカテゴリ一様定理を用いて、レベル集合が連結であるような正則値の集合がリー代数の双対空間において残渣的（residual）であることを示す。
• ヒルバート多様体上のほぼ周期的Rⁿ作用の理論を用いて、モーメント写像のファイバー構造を分析する。
• 問題を有限次元の凸性議論に還元するために、モーメント写像の像からRⁿへの良い射影を構成する。
• 関数空間における常微分方程式の解の存在・一意性定理を用いて、モーメント写像成分の勾配流れを分析する。
• 代数的ベースドループ群Ω_algに直接極限位相を導入し、稠密部分空間においてレベル集合の連結性を証明した後、全ヒルバート多様体へ拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限次元群作用を伴う無限次元シンプレクティック多様体において、モーメント写像のレベル集合の連結性を確立できるか？
• RQ2 有限次元で凸性が保証されるのと同じ条件下で、ヒルバート多様体におけるモーメント写像の像の凸性は保持されるか？
• RQ3 アティヤの手法（レベル集合の連結性に基づくもの）を、ベースドループ群のような無限次元設定に拡張できるか？
• RQ4 どのような位相的・解析的条件が、ヒルバート多様体におけるモーメント写像の正則レベル集合の連結性を保証するか？
• RQ5 ほぼ周期的Rⁿ作用が無限次元シンプレクティック多様体に作用するとき、モーメント写像の構造はどのように変化するか？

主な発見

• μ⁻¹(c) が連結であるような正則値 c ∈ ℝⁿ の集合はℝⁿにおいて残渣的であり、これは一般に稠密なGδ集合で連結性が成立することを示唆する。
• ベースドループ群ΩGにおけるT×S¹作用のモーメント写像の像は凸であり、アティヤとプレスリー[7]の結果を、レベル集合の連結性に基づく新しい証明によって再現する。
• 正則値に対するレベル集合の連結性は、全ヒルバート多様体ΩG上で確立され、従来のΩ_algにおける稠密部分空間に限られていた結果を拡張する。
• モーメント写像成分はH¹ノルムの下で条件(C)を満たし、連結性の証明にモース理論的手法を適用可能にする。
• この証明枠組みは、強いシンプレクティック構造を備え、シンプレクティック形式を保存する有限次元群作用を伴うヒルバート多様体に一般に適用可能である。
• この結果は、無限次元設定におけるモーメント写像の像の凸性が、有限次元の場合と同様の原理、すなわちレベル集合の連結性に起因することを確認する。