[論文レビュー] Connectivity Lower Bounds in Broadcast Congested Clique

Shreyas Pai, Sriram V. Pemmaraju|arXiv (Cornell University)|May 22, 2019

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 25被引用数 1

ひとこと要約

本論文は、1ビットブロードキャストコンフスドクラウド（BCC(1)）モデルにおけるグラフ連結性の最初の非自明な下界を確立し、KT-1およびKT-0モデルにおける決定的および定数誤差を許容する確率的アルゴリズムの両方で、Ω(log n)ラウンドの計算量を証明した。本研究では、新しい組合せ的議論、2人対2人通信問題への還元、および情報理論的技法を用いて、単一サイクルグラフとマルチサイクルグラフを区別するのでさえもΩ(log n)ラウンドを要することを示し、このモデルにおける根本的な通信障壁を浮き彫りにした。

ABSTRACT

We prove three new lower bounds for graph connectivity in the $1$-bit broadcast congested clique model, BCC$(1)$. First, in the KT-$0$ version of BCC$(1)$, in which nodes are aware of neighbors only through port numbers, we show an $Ω(\log n)$ round lower bound for CONNECTIVITY even for constant-error randomized Monte Carlo algorithms. The deterministic version of this result can be obtained via the well-known "edge-crossing" argument, but, the randomized version of this result requires establishing new combinatorial results regarding the indistinguishability graph induced by inputs. In our second result, we show that the $Ω(\log n)$ lower bound result extends to the KT-$1$ version of the BCC$(1)$ model, in which nodes are aware of IDs of all neighbors, though our proof works only for deterministic algorithms. Since nodes know IDs of their neighbors in the KT-$1$ model, it is no longer possible to play "edge-crossing" tricks; instead we present a reduction from the 2-party communication complexity problem PARTITION in which Alice and Bob are give two set partitions on $[n]$ and are required to determine if the join of these two set partitions equals the trivial one-part set partition. While our KT-$1$ CONNECTIVITY lower bound holds only for deterministic algorithms, in our third result we extend this $Ω(\log n)$ KT-1 lower bound to constant-error Monte Carlo algorithms for the closely related CONNECTED COMPONENTS problem. We use information-theoretic techniques to obtain this result. All our results hold for the seemingly easy special case of CONNECTIVITY in which an algorithm has to distinguish an instance with one cycle from an instance with multiple cycles. Our results showcase three rather different lower bound techniques and lay the groundwork for further improvements in lower bounds for CONNECTIVITY in the BCC$(1)$ model.

研究の動機と目的

• BCC(1)モデルにおけるグラフ連結性の既知の上界と下界のギャップを埋めること。
• 1ビットブロードキャストコンフスドクラウドにおいて、単純な連結性の変種ですら、超定数の通信ラウンドを必要とすることを確立すること。
• 出力の複雑さが低い問題（例：連結性や連結成分）に適用可能な新しい下界技法を開発すること。
• KT-1モデルにおける確率的アルゴリズムの下界を拡張すること、ここでノードは隣接ノードのIDを知っている。
• 通信複雑性の還元と情報理論的解析を用いて、より強い下界を達成できるかどうかを検討すること。

提案手法

• 入力分布の組合せ的性質に基づく、新しい不辺別グラフ議論を用いて、KT-0モデルにおける連結性のΩ(log n)下界を証明した。
• KT-1モデルにおける連結性問題を2人対2人通信問題Partitionに還元し、連結性を解くことは高コストの通信を伴うPartitionを解くことに帰着されることを示した。
• Yaoのミニマックス原理を用いて、誤差が有界な決定的プロトコルに確率的プロトコルを還元し、解析を簡略化した。
• 入力とトランスクリプト間の相互情報量を束縛する情報理論的技法を適用し、高いエントロピーを持つ入力では大規模な通信が必要であることを示した。
• 出力表現が大きなサイズを要するPartitionの変種であるPartitionComp問題を導入し、連結成分の計算をモデル化した。
• 還元をエントロピーおよび相互情報量の不等式と組み合わせ、Ω(n log n)の通信複雑度を導出し、これがΩ(log n)のラウンド複雑度を示唆することを示した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 BCC(1)モデルにおける連結性に対して、ω(log n)ラウンドの下界を証明できるか、それともO(log n)が真の複雑度であるか？
• RQ2 BCC(1)モデルのKT-1モデルにおいて、定数誤差を許容する確率的アルゴリズムに対してもΩ(log n)の下界を拡張できるか？
• RQ3 PartitionおよびTwoPartition問題の確率的通信複雑度はΩ(n log n)で下から抑えられるか？
• RQ4 出力表現が大きい場合に、情報理論的技法が連結性に対してより強い下界をもたらすか？
• RQ5 2人対2人通信問題からの還元を用いて、BCC(1)モデルでタイトな下界を確立できるか？

主な発見

• BCC(1)モデルのKT-0モデルにおいて、定数誤差を許容する確率的モンテカルロアルゴリズムですら、連結性に対してΩ(log n)ラウンドの下界が確立された。
• 同じΩ(log n)の下界は、2人対2人通信問題Partitionへの還元により、KT-1モデルにおける決定的アルゴリズムに対しても成立する。
• KT-1モデルにおけるConnectedComponents問題に対して、情報理論的技法を用いて、定数誤差モンテカルロアルゴリズムのΩ(log n)下界が証明された。
• 単一サイクルグラフとマルチサイクルグラフを区別する特殊ケースに対しても下界が成立し、連結性検出の本質的複雑さを示している。
• 本研究は、3つの異なる下界技法を示した：組合せ的不辺別、通信複雑性の還元、情報理論的解析。
• 本研究は、BCC(log n)における連結性の最良既知の上界O(log n / log log n)ラウンドが、現在の下界では除外されないことを示し、O(log n)アルゴリズムの可能性が残っていることを示した。