[論文レビュー] Connectivity of orientations of 3-edge-connected graphs

Florian Hörsch, Zoltán Szigeti|arXiv (Cornell University)|Dec 6, 2020

Advanced Graph Theory Research参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、3-辺連結グラフ G に対して、すべての辺が少なくとも1つの向き付けにおいて削除可能（つまり、その削除が強い連結性を保つ）になるために必要な向き付けの最小数であるフランク数 f(G) を導入する。すべての3-辺連結グラフに対して f(G) ≤ 7 が成り立ち、ペテルセン図形に対しては f(G) = 3 であることが示され、すべての辺を1つの向き付けで削除可能にする問題は NP 完全である。本研究はベルジュ＝フルカーソン予想に関連しており、すべての3-辺連結グラフに対して f(G) ≤ 3 であるという予想を提示する。

ABSTRACT

We attempt to generalize a theorem of Nash-Williams stating that a graph has a $k$-arc-connected orientation if and only if it is $2k$-edge-connected. In a strongly connected digraph we call an arc {\it deletable} if its deletion leaves a strongly connected digraph. Given a $3$-edge-connected graph $G$, we define its Frank number $f(G)$ to be the minimum number $k$ such that there exist $k$ orientations of $G$ with the property that every edge becomes a deletable arc in at least one of these orientations. We are interested in finding a good upper bound for the Frank number. We prove that $f(G)\leq 7$ for every $3$-edge-connected graph. On the other hand, we show that a Frank number of $3$ is attained by the Petersen graph. Further, we prove better upper bounds for more restricted classes of graphs and establish a connection to the Berge-Fulkerson conjecture. We also show that deciding whether all edges of a given subset can become deletable in one orientation is NP-complete.

研究の動機と目的

• 単一の向き付けに要件を緩和することで、ナッシュ＝ウィリアムズの定理を k-弧連結向き付けへ一般化すること。
• フランク数 f(G) を定義・分析し、すべての辺が少なくとも1つの向き付けにおいて削除可能になるような向きつけの最小数を求める。
• 3-辺連結グラフにおける f(G) の上界を確立し、ペテルセン図形のような極値例を同定すること。
• フランク数とグラフ理論における深い予想（例えばベルジュ＝フルカーソン予想）との関係を探索すること。
• ある部分集合のエッジがすべて同じ向き付けで削除可能になるかどうかを決定する問題の計算複雑性を調査すること。

提案手法

• 3-辺連結グラフ G に対して、すべての辺が少なくとも1つの向き付けにおいて削除可能な弧になるようにする向きつけの最小数をフランク数 f(G) として定義する。
• NAE3SAT 問題への還元を用いて、与えられた部分集合のエッジがすべて1つの向きつけで削除可能になるかどうかを決定する問題が NP 完全であることを証明する。
• 3SAT の真理値割り当てを模倣した変数および節のガジェットを用いて、エッジの削除後も強い連結性を保つように、3正則グラフに対して明示的な向きつけを構成する。
• 構造的分解とエッジカット解析を用いて、すべての3-辺連結グラフに対して f(G) ≤ 7 を証明する。
• 特に、本質的に4-辺連結グラフや3-辺彩色可能な3-辺連結グラフといったクラスに対して、より緊密な上界を確立する。
• 3-辺連結グラフの9分割に関するデュボア、ジョンソン、セイヤーの結果を用いて、一般の上界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3-辺連結グラフのすべての辺が、少なくとも1つの向きつけにおいて削除可能になるようにするための最小向きつけ数は何か？
• RQ2 すべての3-辺連結グラフに対して、フランク数が小さな絶対定数で抑えられるか。もしそうならば、その最良の上界は何か？
• RQ3 ペテルセン図形は3-辺連結グラフの中で最小のフランク数を達成するか？また、このグラフに対して f(G) = 3 であるか？
• RQ4 与えられたエッジ部分集合がすべて同じ向きつけで削除可能になるかどうかを決定する問題は、計算的に容易か、それとも NP 完全か？
• RQ5 フランク数の概念を (2k+1)-辺連結グラフへ一般化できるか？また、必要な向きつけ数は k とは独立に有界か？

主な発見

• すべての3-辺連結グラフ G に対して、フランク数 f(G) は 7 以下である。
• ペテルセン図形は、正確に f(G) = 3 を達成しており、最小の極値例である。
• 本質的に4-辺連結グラフでは、フランク数は5以下である。
• 3-辺彩色可能な3-辺連結グラフでは、フランク数は4以下である。
• 与えられた部分集合のすべてのエッジが1つの向きつけで削除可能になるかどうかを決定する問題は、NP 完全である。
• フランク数が5より大きいグラフが存在すると、ベルジュ＝フルカーソン予想に矛盾する。