[論文レビュー] Connes-amenability and normal, virtual diagonals for measure algebras, II

Volker Runde|arXiv (Cornell University)|Nov 20, 2001

Advanced Operator Algebra Research参考文献 18被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、局所コンパクト群 $G$ の測度代数 $M(G)$ について、$G$ のアメニタリティ、$M(G)$ のコンネス・アメニタリティ、および $M(G)$ 内の正規仮想対角の存在という3つの性質が同値であることを確立する。正規化された $L^1(G)$ の関数のネットで、コンパクト集合上で一様近似条件を満たすものを使って、無限遠で消える連続関数の空間の双対における極限点を構成し、それが正規仮想対角として機能することを示す。この構成は、超限限界と弱*連続性の議論によってなされ、同値性が証明される。

ABSTRACT

We prove that the following are equivalent for a locally compact group $G$: (i) $G$ is amenable; (ii) $M(G)$ is Connes-amenable; (iii) $M(G)$ has a normal, virtual diagonal.

研究の動機と目的

• 一般の双対バナッハ代数について、コンネス・アメニタリティと正規仮想対角の存在が同値であるかどうかという未解決問題を解消すること。特に、測度代数 $M(G)$ に焦点を当てる。
• 以前の部分的な結果を拡張し、$M(G)$ に対して、コンネス・アメニタリティと正規仮想対角の存在が同値であることが $G$ がアメニタリティを満たす場合に限り成り立つことを証明すること。
• $G$ がアメニタリティを満たす場合に、一様近似条件を満たす $L^1$-関数のネットに基づいて、$M(G)$ の正規仮想対角を構成すること。
• 弱*位相的および双対性の技法を用いて、$M(G)$ の構造的性質を群のアメニタリティの観点から完全に特徴づけること。

提案手法

• 正規化された $L^1$-関数 $(f_\alpha)$ を用いて、コンパクト集合上で一様に $\|\delta_x * f_\alpha - f_\alpha\| \to 0$ を満たすように、$M(G \times G)$ 内のネット $(m_\alpha)$ を構成する。
• ネット $(m_\alpha)$ を用いた超限限界によって、$\operatorname{\cal SC}_0(G \times G)$ の双対における極限元 $\rm M$ を定義し、弱*連続性を保証する。
• $\Delta \rm M = \delta_e$ を確認するため、$\rm M$ を乗法写像に作用させた評価が恒等元におけるディラック測度を与えることを示す。
• $\rm M$ が双加法的不変であることを証明する。すべての $\mu \in M(G)$ に対して $\|\mu \cdot \rm M - \rm M \cdot \mu\| \to 0$ となることを、フォビニの定理とノルム推定を用いて示す。
• $|\mu|$ の内挿的正則性と、$\| (\delta_y \otimes \delta_e) * m_\alpha - m_\alpha * (\delta_e \otimes \delta_y) \| \to 0$ の一様収束条件を用いて、双加法的不変性を結論づける。
• $\mathcal{L}^{2}_{w^*}(M(G), \mathbb{C})^*$ と $\operatorname{\cal SC}_0(G \times G)$ の同一視を活用し、構成を適切な双対空間に埋め込む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての局所コンパクト群 $G$ に対して、$M(G)$ のコンネス・アメニタリティと正規仮想対角の存在は同値か？
• RQ2 $G$ がアメニタリティを満たす場合に、$M(G)$ の正規仮想対角を明示的に構成できるか？
• RQ3 $L^1$-関数のネットがコンパクト集合上で一様近似条件 $\|\delta_x * f_\alpha - f_\alpha\| \to 0$ を満たすならば、正規仮想対角の存在が保証されるか？
• RQ4 逆に、$M(G)$ に正規仮想対角が存在するならば、$G$ はアメニタリティを満たすか？
• RQ5 弱*連続性と双対性は、測度代数の導分および双加法的構造を特徴付ける際に果たす役割は何か？

主な発見

• $M(G)$ に正規仮想対角が存在することは、$G$ のアメニタリティと同値である。
• $M(G)$ のコンネス・アメニタリティは、$G$ のアメニタリティと同値であり、離散群およびコンパクト群に対して以前の結果を拡張する。
• $M(G)$ の正規仮想対角は、アメニタリティ条件を満たす $L^1$-ネットから導かれる測度 $m_\alpha$ の超限限界として構成される。
• この構成により、$\Delta \rm M = \delta_e$ が成り立つことが確認され、仮想対角が要請する性質を満たすことが証明される。
• 双加法的不変性 $\mu \cdot \rm M = \rm M \cdot \mu$ は、コンパクト集合上で一様収束するため、ノルム差がゼロに近づくことから、極限で成立する。
• 証明により、$M(G)$ がコンネス・アメニタリティをもつのは $G$ がアメニタリティを満たすときであり、かつそのときに限る。測度代数における同値性の鎖が完全に完成する。