[論文レビュー] Connes' Tangent Groupoid and Deformation Quantization

José F. Cariñena, Jesús Clemente-Gallardo+4 more|arXiv (Cornell University)|Feb 20, 1998

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 7被引用数 2

ひとこと要約

この論文は、コンネスの接バンドル群族の原理とランズマンの枠組みを用いて、任意の向き付け可能リーマン多様体上に厳密でフラッピーな変形量子化を構成する。これはモーヤル積の一般化である。このアプローチにより、実性およびトレース的制約を満たす漸近的同型写像が得られ、量子化理論にコンネスにインspiredな基盤を提供する。

ABSTRACT

We address one of the open problems in strict deformation quantization recently listed by Rieffel. By developping in detail Connes ’ tangent groupoid principle and using previous work by Landsman, we show how to construct a strict, flabby deformation quantization, which is moreover an asymptotic morphism and satisfies the reality and traciality constraints, on any oriented Riemannian manifold. That construction generalizes the standard Moyal rule. The paper can be considered as an introduction to quantization theory from Connes ’ point of view. 1.1. Motivation 1.

研究の動機と目的

• リエッフェルが提示した厳密な変形量子化における未解決問題に取り組むこと。
• 変形量子化の文脈において、コンネスの接バンドル群族の原理を発展させること。
• 実性およびトレース的制約を満たす厳密でフラッピーな変形量子化を構築すること。
• 標準的なモーヤル則を任意の向き付け可能リーマン多様体へ一般化すること。
• コンネスの非可換幾何学的視点から、量子化のための基礎的枠組みを提供すること。

提案手法

• 接バンドル群族の構成を用いて、余接バンドルを群族構造に関連付ける。
• 群族の畳み込み代数にランズマンの変形量子化枠組みを適用する。
• 群族C*-代数上の漸近的同型写像を用いて、1パラメータ族のスター積を構成する。
• 代数的および幾何的整合性条件を通じて、実性およびトレース的制約を課す。
• スター積の収束性および連続性を制御することにより、変形が厳密かつフラッピーであることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンネスの接バンドル群族は、一般のリーマン多様体上での厳密な変形量子化を構成するために利用可能か？
• RQ2 群族論的手法を用いて、平坦空間を超えたモーヤル積の一般化はどのように可能か？
• RQ3 変形量子化が実性およびトレース的制約を満たすために必要な条件は何か？
• RQ4 接バンドル群族の構成は、変形量子化においてどのような意味で漸近的同型写像をもたらすか？
• RQ5 このアプローチは、幾何的量子化と非可換幾何学的原理をどのように統合するか？

主な発見

• 任意の向き付け可能リーマン多様体上に、接バンドル群族を用いて厳密でフラッピーな変形量子化が構成された。
• 構成は、曲がった平坦でない幾何にまで標準的なモーヤルスター積を一般化している。
• 得られた変形は漸近的同型写像であるため、変形パラメータにおける連続性が保証されている。
• 実性およびトレース的制約は、群族C*-代数の代数的構造を通じて満たされている。
• この方法は、位相空間的手法を越えて、幾何的および非可換幾何学的基盤を提供する量子化の枠組みを構築した。