[論文レビュー] Conormal Geometry of Maximal Minors

Steven L. Kleiman, Anders Thorup|ArXiv.org|Aug 22, 1997

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

本稿は代数幾何学における最大小の余接幾何を調査し、A[M] 上で A[N] が有限生成でないときの Proj(A[M]) 内の例外的局所 E の次元と等次元性に注目する。可換代数と代数幾何学の技法を用いて、N が自由で A[N] が対称代数であるか、A が普遍的に接続的で W が空でない場合に、dim E = r−1 を証明する。この結果は、最大小によって生成されるイデアルの古典的高さ不等式を回復・再証明し、イデアルの整域的従属の基準を一般化する。

ABSTRACT

Let A be a Noetherian local domain, N be a finitely generated torsion- free module, and M a proper submodule that is generically equal to N. Let A[N] be an arbitrary graded overdomain of A generated as an A-algebra by N placed in degree 1. Let A[M] be the subalgebra generated by M. Set C:=Proj(A[M]) and r:=dim C. Form the (closed) subset W of Spec(A) of primes p where A[N]_p is not a finitely generated module over A[M]_p, and denote the preimage of W in C by E. We prove this: (1) dim E=r-1 if either (a) N is free and A[N] is the symmetric algebra, or (b) W is nonempty and A is universally catenary, and (2) E is equidimensional if (a) holds and A is universally catenary. Our proof was inspired by some recent work of Gaffney and Massey, which we sketch; they proved (2) when A is the ring of germs of a complex- analytic variety, and applied it to perfect a characterization of Thom's A_f-condition in equisingularity theory. From (1), we recover, with new proofs, the usual height inequality for maximal minors and an extension of it obtained by the authors in 1992. From the latter, we recover the authors' generalization to modules of B"oger's criterion for integral dependence of ideals. Finally, we introduce an application of (1), being made by the second author, to the geometry of the dual variety of a projective variety, and use it to obtain an interesting example where the conclusion of (1) fails and A[N] is a finitely generated module over A[M].

研究の動機と目的

• A[N] が A[M] 上で有限生成でないときの Proj(A[M]) 内の例外的局所 E の幾何的構造を分析すること。
• モジュール N と環 A に関する条件下で、E の次元および等次元性の性質を確立すること。
• 新しい幾何的技法を用いて、最大小によって生成されるイデアルの高さに関する古典的結果を回復・再証明すること。
• 余接幾何の枠組みを用いて、モジュールにおけるイデアルの整域的従属の理論を拡張すること。
• 結果を射影的代数的多様体の双対多様体に応用し、主な結論が成り立たない反例を明らかにすること。

提案手法

• A をノエター局所整域とし、有限生成でねじれのないモジュール N の真部分モジュール M をとる。このとき A[M] を A に生成された A-部分代数として定義する。
• C = Proj(A[M]) を構成し、E を、A[N]_p が A[M]_p 上で有限生成でない点 p ∈ Spec(A) の集合 W ⊆ Spec(A) の C 内での逆像として定義する。
• 普遍的に接続的な環の性質と対称代数の構造を用いて、E の次元を分析する。
• 等奇性理論における Gaffney と Massey の A_f 条件に関する研究にインspiredされた技法を適用する。
• 次数付き上位環と Proj 構成を用いて、モジュール論的性質と幾何的次元を関連付ける。
• ICIS 定義の局所的構造において、有限生成の失敗を局所コホホロジーと次元論を用いて分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 A[M] 上で A[N] が有限生成でないとき、例外的局所 E の次元が r−1 となる条件は何か。ここで r = dim C である。
• RQ2 A が普遍的に接続的で N が自由であるとき、例外的局所 E が等次元的となる条件は何か。
• RQ3 余接幾何を用いて、最大小によって生成されるイデアルの高さ不等式をどのように回復・一般化できるか。
• RQ4 余接幾何の枠組みが、モジュールにおけるイデアルの整域的従属基準に与える影響は何か。
• RQ5 A[N] が still A[M] 上で有限生成であっても、主定理の結論が成り立たないことはあり得るか。その場合、どのような幾何的条件が原因となるか。

主な発見

• N が自由で A[N] が対称代数であるか、W が空でなく A が普遍的に接続的なとき、例外的局所 E の次元は r−1 である。
• N が自由で A が普遍的に接続的なとき、例外的局所 E は等次元的である。
• 主結果は、最大小によって生成されるイデアルの古典的高さ不等式を回復する。
• Böger のイデアルの整域的従属基準の拡張が、余接幾何の枠組みにおけるモジュール論的一般化を用いて回復される。
• A[N] が A[M] 上で有限生成であっても、主定理の結論が成り立たない反例が構成され、仮定の必要性が示された。