[論文レビュー] Consensus for switched networks with unknown but bounded disturbances

Dario Bauso, L. Giarré+1 more|ArXiv.org|Dec 28, 2006

Distributed Control Multi-Agent Systems参考文献 14被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、未知だが有界（UBB）な摂動を伴うスイッチングネットワークにおける $ε$-コンセンサス問題を導入し、解決する。エージェントは正確なコンセンサスではなく、半径 $ε$ のチューブに収束する。線形定常プロトコルと平均推定のための「ラジオールール」を用いて、あらゆる可能なトポロジーにおいて最小半径で定義されるチューブへの有限時間収束を証明している。収束は最小停留時間と摂動の大きさが有界である条件下で保証される。

ABSTRACT

We consider stationary consensus protocols for networks of dynamic agents with switching topologies. The measure of the neighbors' state is affected by Unknown But Bounded disturbances. Here the main contribution is the formulation and solution of what we call the $ε$-consensus problem, where the states are required to converge in a tube of ray $ε$ asymptotically or in finite time.

研究の動機と目的

• スイッチングトポロジーと未知だが有界（UBB）な測定摂動を伴うマルチエージェントネットワークにおけるコンセンサスの達成という課題に対処すること。
• 正確なコンセンサスの緩和として $ε$-コンセンサス問題を定式化し、エージェントが共通の値ではなく半径 $ε$ のチューブに収束することを目的とする。
• 正確なコンセンサスが摂動のため達成不可能な状況下でも、最小半径のチューブへの有限時間収束が達成される条件を提供すること。
• 摂動の上限とスイッチングの停留時間が収束チューブの実現可能半径に与える影響を分析すること。
• 固定トポロジーの結果をスイッチングネットワークに拡張し、有限時間収束を保証する最小停留時間を導出すること。

提案手法

• 時間変動する無向で連結なトポロジーを持つスイッチングシステムとしてネットワークをモデル化し、スイッチング関数 $σ(t)$ と最小停留時間 $\tau > 0$ を用いる。
• 状態ベクトルの直径を測るためのリャプノフ関数 $\mathcal{V}(x) = \max_i x_i - \min_i x_i$ を導入し、プロトコルの下で非増加であることを示す。
• 平衡点の多面体 $P(Q, E_k)$ とチューブ $S(Q, E_k, \nu)$ を定義し、最大成分差が $L(Q, E_k) + 2\nu$ で有界である集合とみなす。ここで $\nu$ は摂動の上限に関連する。
• 各エージェントが、有限個の候補からなるコン pact 集合からの平均推定を「ラジオールール」で行い、現在の状態に最も近いものを選ぶ。
• 摂動上限 $\nu$ が与えられたとき、停留時間が $\tau(\nu, \gamma) = \max_k q_k(\nu, \gamma)$ を超える限り、システムは $T = \bigcap_{E_k \in \mathcal{E}} S(D, E_k, \nu)$ の交差集合への有限時間収束を達成する。
• 収縮の議論を用いる：$\mathcal{V}(x(t_{s+1})) \leq \gamma \mathcal{V}(x(t_s))$ または $x(t_{s+1}) \in P(D, E_k) + \nu$ が成り立つならば、$\mathcal{V}(x(t))$ は最終的に $L(Q, E_k) + 2\nu$ で有界になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 隣接エージェントの状態測定値が未知だが有界な摂動を受ける場合、スイッチングネットワークでコンセンサスを達成できるか？
• RQ2 摂動上限とネットワークトポロジーが与えられたとき、エージェントが収束することができる最小の半径 $\epsilon$ は何か？
• RQ3 スイッチングネットワークにおいて、最小停留時間が収束チューブの実現可能半径に与える影響は何か？
• RQ4 UBB摂動が存在する状況下で、どのような条件下でエージェントは $0$-コンセンサス（正確なコンセンサス）を達成できるか？
• RQ5 推定ルールの選択（例：「ラジオールール」）が、摂動の存在下での収束特性に与える影響は何か？

主な発見

• システムは有限時間収束を達成し、$T = \bigcap_{E_k \in \mathcal{E}} S(D, E_k, \nu)$ のチューブに収束する。ここで $\nu$ は摂動上限から導かれる。これにより $\epsilon$-コンセンサスが達成され、$\epsilon = \min_k \{\text{radius of } S(D, E_k, \nu)\}$ となる。
• 固定トポロジーの場合、収束チューブの最小実現可能半径は $L(Q, E_k) + 2\nu$ であり、ここで $L(Q, E_k)$ はトポロジー $E_k$ における平衡点集合の直径である。
• 停留時間 $\hat{\tau}(\nu, \gamma)$ が $\max_k q_k(\nu, \gamma)$ を超える限り、有限時間収束が保証される。ここで $\gamma \in (0,1)$ は収縮率を制御する。
• 停留時間が長いほど、収束するチューブの半径が小さくなる。これは、スイッチング頻度とコンセンサスの精度のトレードオフを示している。
• 正確な $0$-コンセンサスは、特定の摂動実現（例：対称的または平均がゼロ）の場合にのみ可能であり、一般の UBB 摂動では正確な収束は不可能である。
• スイッチングのため、システムはチューブ内で無限に振動し続け得る。例 4 で示されるように、軌道は固定点に到達せずに線分に沿って振動し続けることがある。