[論文レビュー] Consequences of the product rule in Stieltjes differentiability

Francisco J. Fernández, Ignacio Márquez Albés+1 more|arXiv (Cornell University)|May 20, 2022

Functional Equations Stability Results被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、スティルチェス微分下での関数積の高階微分可能性を調査し、ジャンプ関数 Δg と点シフト t* を含む追加項を含む修正された積の法則を導出する。主な貢献は、積の1階スティルチェス微分の g-連続性の必要十分条件であり、これは Δg の振る舞いと t* における関数の微分係数に依存する。

ABSTRACT

This work revolves around the study of differentiability in the Stieltjes sense of a product of functions. A formula for the first order derivative has been obtained in the past, which is similar to the usual one with some extra terms in its expression. The aim of this paper is to take this behavior into account to study under which conditions we can guarantee the existence of higher order derivatives, while obtaining some other interesting results for the Stieltjes derivative along the way. We also investigate the regularity of the product of two functions.

研究の動機と目的

• 2つの g-微分可能な関数の積が高階スティルチェス微分可能となる条件を調査すること。
• 点シフト t* とジャンプ関数 Δg がスティルチェス微分の積の法則において果たす役割を分析すること。
• 積のスティルチェス微分が g-連続のままである条件、特に Δg* と t* における関数の値の振るまいに注目して特定すること。
• 2つの関数が 𝒞g¹ に属するとき、その積が同じクラスに留まるための必要十分条件を確立すること。これは積における標準代数的構造の失敗に対処する。
• スティルチェス微分法における Δg* と f* (f を t* で評価したもの) の微分可能性の性質を明確にすること。これらは高階解析において極めて重要である。

提案手法

• スティルチェス微分の一般化された積の法則を導出: (f₁f₂)′_g(t) = f′₁(t)f₂(t*) + f′₂(t)f₁(t*) + f′₁(t)f′₂(t)Δg(t*) で、t* は t に依存する。
• f* (f を t* で評価したもの) の概念を導入し、その g-微分可能性を分析。f* が g-微分可能であるのは特定の正則性条件を満たす場合に限ることを示す。
• Δg* (ジャンプ関数を t* で評価したもの) の g-微分可能性を研究し、反例を提示することで Δg* が常に g-微分可能ではないことを示す。
• 測度論的道具を用いて、微分項の連続性と可積分性を分析する。具体的には μg-可積分性と g-ほとんど everywhere (a.e.) 収束を用いる。
• 主な連続性結果の証明に、g-連続性に関する補題 2.14 と、コンパクト集合上での ∑Δg(s) の有限性を用いる。
• g(tₙ)→g(t) かつ |h(tₙ)|≥ε₀ を満たす列 {tₙ} を用いた背理法を用い、微分項の g-連続性に必要な条件 ∑Δg(s) < ∞ を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2つの g-微分可能な関数の積が2階 g-微分可能となる条件は何か？
• RQ2 関数 f* (f を点 t で評価したもの) が点 t で g-微分可能となる条件は何か？
• RQ3 ジャンプ関数 Δg* が g-微分可能となるのはいつか？また、それは積の法則においてどのような役割を果たすか？
• RQ4 積の1階スティルチェス微分の g-連続性の必要十分条件は何か？
• RQ5 Dg 上での Δg の振るまいが、積の微分係数の正則性にどのように影響するか？

主な発見

• 積 f₁f₂ の1階スティルチェス微分は、f₂(t*)、f₁(t*)、Δg(t*) を含む修正された積の法則で与えられ、古典的微分法にない新しい項が導入される。
• 関数 f* (f を t* で評価したもの) が点 t で g-微分可能であるのは、f が t* で連続であり、かつ f′_g(t) = 0 である場合に限る。これは非常に制限の厳しい条件である。
• ジャンプ関数 Δg* は必ずしも g-微分可能ではない。反例により、g が非減少かつ左連続であっても、Δg* が g-微分可能でない場合があることが示される。
• t ∈ ((a*,b) ∩ A_g) \ H_g において (f₁f₂)′_g の g-連続性が成り立つのは、lim_{s→t} (f′₁(s)f′₂(s)Δg(s)) = 0 であるときであり、これは ∑_{s∈[a,b]∩D_g} Δg(s) < ∞ であることに同値である。
• 条件 ∑_{s∈[a,b]∩D_g} Δg(s) < ∞ は、微分項 h = f′₁f′₂Δg* の g-連続性にとって必要かつ十分である。
• この結果は [4, 系 3.17] を一般化し、1つの関数が古典的連続であることを仮定しなくても、必要十分条件を提供する。