[論文レビュー] Conservation Laws and Formation of Singularities in Relativistic Theories of Extended Objects

Jens Hoppe|arXiv (Cornell University)|Mar 10, 1995

Relativity and Gravitational Theory参考文献 2被引用数 19

ひとこと要約

本稿では、M次元の拡張された物体のM+2次元時空における力学を、幾何学的変数（第一および第二基本形式）を用いて定式化し、運動方程式が線形系の整合性条件として生じることを示し、非局所的保存量が得られることを示している。主な結果は、M=1（ストリング）の場合、すべての運動が必然的に特異的であるのに対し、M=2（膜）の場合、楕円関数を用いた非対称な解が構成され、ℝ¹,³における3重周期的で時空的最適な超曲面が得られることである。

ABSTRACT

The dynamics of an M-dimensional extended object whose M+1 dimensional world volume in M+2 dimensional space-time has vanishing mean curvature is formulated in term of geometrical variables (the first and second fundamental form of the time-dependent surface $\sum_M$), and simple relations involving the rate of change of the total area of $\sum_M$, the enclosed volume as well as the spatial mean -- and intrinsic scalar curvature, integrated over $\sum_M$, are derived. It is shown that the non-linear equations of motion for $\sum_M(t)$ can be viewed as consistency conditions of an associated linear system that gives rise to the existence of non-local conserved quantities (involving the Christoffel-symbols of the flat M+1 dimensional euclidean submanifold swept out in ${\Bbb R}^{M+1}$). For M=1 one can show that all motions are necessarily singular (the curvature of a closed string in the plane can not be everywhere regular at all times) and for M=2, an explicit solution in terms of elliptic functions is exhibited, which is neither rotationally nor axially symmetric. As a by-product, 3-fold-periodic spacelike maximal hypersurfaces in ${\Bbb R}^{1,3}$ are found.

研究の動機と目的

• M次元の拡張物体のM+2次元時空における力学を、第一および第二基本形式などの内在的幾何学的変数を用いて定式化すること。
• 世界体積上での総面積、閉じた体積、および内在的曲率の積分に対する保存則を導出すること。
• 非線形運動方程式が関連する線形系の整合性条件であることを示し、非局所的保存量の存在を示すこと。
• 特にM=1およびM=2の場合における相対論的拡張物体の運動における特異性の発生を分析すること。
• M=2膜に対して明示的な解を構成すること、特に回転対称性や軸対称性のない解、およびℝ¹,³における時空的最適な超曲面の周期的解を含めること。

提案手法

• 時空ℝ¹,ᴹ⁺¹内の世界体積ℳを、時間に依存するM次元の曲面Σᴹ(t)としてパラメトライズし、座標(φ⁰=t, φ¹,…,φᴹ)を用い、法線方向の進化を考慮する。
• ミンコフスキー計量ημνと埋め込み関数xμ(φ⁰,…,φᴹ)を用いて、ℳ上での誘導計量Gαβを表現し、S = ∫√|G| dφという体積汎関数を得る。
• 体積汎関数の極値から運動方程式を導出し、法線速度ẋがsinθに比例する1次系が得られ、θは空間計量行列式gと関連する。
• 幾何学的変数gᵣₛ（第一基本形式）、Lᵣₛ（第二基本形式）を導入し、ガウス・コダッチ方程式を用いて時間発展を曲率と関連付ける。
• ワイエルシュトラスの℘関数を用いてM=2の場合の明示的解を構成し、特に表面が周期的に進化し、ℝ¹,³における最適な超曲面を形成する場合を扱う。
• 力学が、その整合性条件が非線形運動方程式を与える線形系と整合することを示し、平坦なM+1次元の周囲空間ℝᴹ⁺¹におけるクリストッフェル記号を用いて非局所的保存量が得られることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 M+2次元時空における相対論的拡張物体の運動が、どのような条件下で特異性を示すか？
• RQ2 このような物体の力学を、第一および第二基本形式のような幾何的不変量の観点からどのように再定式化できるか？
• RQ3 非線形運動方程式に関連する線形系の背後にある保存量は何か？
• RQ4 M=2膜に対して、非自明かつ明示的な解を構成できるか、特に回転対称性や軸対称性のない解は可能か？
• RQ5 ℝ¹,³における時空的最適な超曲面の幾何学的構造は何か？また、それらは拡張物体の力学からどのように生じるか？

主な発見

• M=1（ストリング）の場合、すべての運動は必然的に特異的である：平面上の閉じたストリングの曲率は、すべての時間にわたって正則を保つことはできない。
• M=2の場合、ワイエルシュトラスの℘関数を用いた明示的解が構成され、回転対称性のない膜の形状が時間的に周期的に変化する。
• 解(73)は、ℝ¹,³における3重周期的で時空的最適な超曲面を記述しており、凸であり、t=0で平坦な表面から出発し、t=ωで丸い点に収束する。
• 表面の平均曲率Hおよびガウス曲率Kは、℘関数の対数微分の関数として導出され、特異性は単位立方体の角や辺に現れる。
• 解(74)は、立方体の上下面から対称的に発展する膜を記述しており、t=ωで一点に集まり、曲率が発散する。
• 線形系の整合性から非局所的保存量の存在が確立され、保存密度には平坦なM+1次元の周囲空間ℝᴹ⁺¹のクリストッフェル記号が関与する。