[論文レビュー] Conservation laws by symmetries and adjoint symmetries

Wen‐Xiu Ma|arXiv (Cornell University)|Jul 11, 2017

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 16被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、ラグランジアンを必要とせず、対称性と随伴対称性のペアを用いて微分方程式系の保存則を直接構成する手法を提示する。このアプローチはノネールの定理を一般化し、熱方程式、バーガース方程式、およびカーツェフ＝デ・ブリュイン方程式（KdV方程式）に対して保存密度を効果的に計算する。特に、Lax対の固有関数および随伴固有関数を用いて新たな保存密度を導出する。

ABSTRACT

Conservation laws are formulated for systems of differential equations by using symmetries and adjoint symmetries, and an application to systems of evolution equations is made, together with illustrative examples. The formulation does not require the existence of a Lagrangian for a given system, and the presented examples include computations of conserved densities for the heat equation, Burgers' equation and the Korteweg-de Vries equation.

研究の動機と目的

• 一般の微分方程式系に対して、ラグランジアン形式に依存せずに保存則を構成するための包括的枠組みを構築すること。
• 対称性と随伴対称性の間の直接的な対応関係が、得られる保存則を生成する仕組みを確立すること。
• 特にスカラー型の発展方程式（熱方程式、バーガース方程式、KdV方程式など）を含む発展方程式系にこの手法を適用すること。
• Lax対の固有関数および随伴固有関数を用いて、明示的な保存密度を計算し、新たな保存則を導出すること。
• 随伴対称性の代数的構造を検討し、特に交換子の定義可能性と閉包性の有無を調査すること。

提案手法

• この手法は、ゲートォー微分とその随伴を用いて、微分系に対する対称性および随伴対称性作用素を定義する。
• 主要な式（2.16）は、変分微分とゲートォー微分の随伴作用素を通じて、対称性と随伴対称性を結びつける。
• 発展方程式に対しては、関数の変分微分が随伴対称性であれば、その関数が保存的であることが保証される。
• Lax対を活用する：各固有関数と随伴固有関数に対して、積 $ \rho_0 = P_1^T Q_2 $ の形で保存密度を構成する。
• 再帰作用素 $ \Phi $ のべき乗を用いることで、無限個の保存密度 $ \rho_0 \Phi^i K_0 $ および $ \rho_0 \Phi^i \tau_0 $ を生成する。
• この枠組みは、既知のLax対および固有関数解を用いて、熱方程式、バーガース方程式、KdV方程式の3つの古典的方程式に対して検証された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の微分方程式系に対して、ラグランジアンを必要とせずに保存則を体系的に導出可能か？
• RQ2 保存則を生成する対称性と随伴対称性の間の明確な代数的関係は何か？
• RQ3 発展方程式に対して、対称性と随伴対称性のペアを用いて、保存密度を明示的に計算する方法は何か？
• RQ4 カーツェフ＝デ・ブリュイン方程式のような古典的方程式に対して、既知のものとは異なる新たな保存密度は存在するか？
• RQ5 随伴対称性の空間に一貫した交換子を定義可能か？また、その閉包性は保たれるか？

主な発見

• 本稿では、ラグランジアン構造に依存せず、任意の微分方程式系に対して、対称性と随伴対称性のペアと保存則の間の直接的対応関係を確立した。
• 熱方程式に対しては、標準的な保存密度 $ u $ を回復し、対称性と随伴対称性のペアによる新しい保存密度を生成した。
• バーガース方程式に対しては、既知の保存密度 $ u $ を得るとともに、同様の対称性に基づく構成により追加の保存密度を生成した。
• KdV方程式に対しては、2つの新たな保存密度を導出した：$ \rho_0 K_0 \sim u \sigma_0 $ および $ \rho_0 \tau_0 \sim \frac{3}{2}tu\sigma_0 + \rho_0 $。これらはLax対の固有関数および随伴固有関数から導出された。
• 再帰作用素 $ \Phi $ のべき乗を用いた構成により、無限個の保存密度が得られ、本手法が保存則の階層を生成する能力を有することを示した。
• 交換子 $ [[\rho_1, \rho_2]] = (\rho_1')^* \rho_2 - (\rho_2')^* \rho_1 $ を用いた随伴対称性上の交換子の定義は、KdV方程式の例で $ x $ が随伴対称性でないことが示されたことから、閉包性を保証しないことが判明した。