[論文レビュー] Conservation laws for conformal invariant variational problems

Tristan Rivière|ArXiv.org|Mar 15, 2006

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、2次元の conformally 不変な変分問題（例：調和写像や prescribed mean curvature 方程式）に対して、方程式を発散型に表現することにより、保存則を確立する。非線形項が局所 Hardy 空間に属することを用いて、任意の目標多様体における有界平均曲率を prescribed する方程式の解の連続性を示し、E. Heinz の予想を解決する。

ABSTRACT

We succeed in writing 2-dimensional conformally invariant non-linear elliptic PDE (harmonic map equation, prescribed mean curvature equations...etc) in divergence form. This divergence free quantities generalize to target manifolds without symmetries the well known conservation laws for harmonic maps into homogeneous spaces. From this form we can recover, without the use of moving frame, all the classical regularity results known for 2-dimensional conformally invariant non-linear elliptic PDE . It enable us also to establish new results. In particular we solve a conjecture by E.Heinz asserting that the solutions to the precribed bounded mean curvature equation in arbitrary manifolds are continuous.

研究の動機と目的

• 対称的でない（例えば球面のような）目標多様体への保存則理論を一般の Riemann 多様体へ拡張すること。
• 移動座標系に依存せずに、2次元の conformally 不変な非線形楕円型系の正則性結果を確立すること。
• 任意の目標多様体における有界平均曲率を prescribed する方程式の解の連続性に関する E. Heinz の予想を解決すること。
• conformally 不変な変分問題における臨界正則性とコンパクトネスを統一的に分析する枠組みを提供すること。

提案手法

• 2次元における conformally 不変な変分問題の Euler-Lagrange 方程式に対して、発散型表現を導出する。
• 調和写像が球面へ写像する場合の古典的保存則 $ \mathrm{div}(u^i \nabla u^j - u^j \nabla u^i) = 0 $ に類似した一般化された保存則構造を導入する。
• 非線形項が局所 Hardy 空間 $ \mathcal{H}^1_{\text{loc}} $ に属することを用いて、改善された正則性推定が可能であることを示す。
• Calderón-Zygmund 理論と $ W^{2,1} $ 推定を用いて、非線形項の逆ラプラシアンが連続であることを示す。
• パラメータ空間における閉性・開性の議論とスケーリングによる連続的経路の構成を用いて、関連する PDE 系の解の存在を証明する。
• 楕円型正則性と Sobolev 嵌め込み定理を用いて、解成分の $ W^{1,2} $ および $ W^{2,2} $ ノルムを制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対称性のない任意の目標多様体を持つ2次元の conformally 不変な変分問題に対し、保存則を導出できるか？
• RQ2 prescribed mean curvature 方程式における非線形項は、改善された正則性推定を可能にする空間に属するか？
• RQ3 任意の目標多様体における有界平均曲率を prescribed する方程式の解は連続的か？
• RQ4 移動座標系法に依存せずに、調和写像の古典的正則性結果を回復し、拡張できるか？

主な発見

• 本稿は、2次元における conformally 不変な変分問題の Euler-Lagrange 方程式に対して、発散型表現を構成し、調和写像が球面へ写像する場合の古典的保存則を一般化する。
• 非線形項が局所 Hardy 空間 $ \mathcal{H}^1_{\text{loc}} $ に属することを証明し、これにより解の2階微分が $ L^1 $ に属することを示し、任意の開集合 $ O \subset B^2 $ に対して $ \int_O |\nabla^2 u| \, dx < \infty $ という推定を得る。
• 任意の目標多様体における有界平均曲率を prescribed する方程式の解が連続的であることを確立し、E. Heinz の予想を解決する。
• 移動座標系法に依存しない、2次元における調和写像方程式の $ W^{1,2} $ 解の実解析的性質の新たな証明を提供する。
• 弱*コンパクト性 $ \mathcal{H}^1 $ と Rellich-Kondrachov 嵌め込みを用いて、エネルギーが有界な解の列に対するコンパクトネス結果を導出する。
• 十分に小さい $ \varepsilon $ に対して、任意の $ \Omega \in W^{1,2}(D^2, \mathfrak{so}(m)) $ で $ \|\Omega\|_{L^2}^2 < \varepsilon $ を満たすものについて、閉かつ開かつ路連結な集合 $ \mathcal{U}_{\varepsilon,C} $ に属することを示し、PDE を解くための連続的議論を可能にする。