[論文レビュー] Conservation laws for surfaces of constant mean curvature in 3-dimensional space forms

Daniel J. F. Fox, Joe S. Wang|arXiv (Cornell University)|Sep 25, 2013

Geometry and complex manifolds参考文献 3被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、ループ代数値形式キリング場に基づく強化された延長モデルを用いて、3次元空間形式内の一定平均曲率（CMC）曲面における高次の保存則および対称性の明示的再帰関係を確立する。CMC外微分系におけるネーターの定理を証明し、保存則がスペクトル対称性に関して斉次的であることを示し、ホフフ微分のスケーリングにおける周期の変動に対してピカード＝フックス型方程式を導出し、ホッジ理論におけるグリフィスの横断性と構造的類似性を明らかにする。

ABSTRACT

The exterior differential system for constant mean curvature (CMC) surfaces in a 3-dimensional space form is an elliptic Monge-Ampere system defined on the unit tangent bundle. We determine the infinite sequence of higher-order symmetries and conservation laws via an enhanced prolongation modelled on a loop algebra valued formal Killing field. As a consequence we establish Noether's theorem for the CMC system and there is a canonical isomorphism between the symmetries and conservation laws. A geometric interpretation of the $\mathbb{S}^{1}$-family of associate surfaces leads to an integrable extension for a non-local symmetry called spectral symmetry. We show that the corresponding spectral conservation law exists as a secondary characteristic cohomology class. For a compact linear finite type CMC surface of arbitrary genus, we observe that the monodromies of the associated flat $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})$-connection commute with each other. It follows that a single spectral curve is defined as the completion of the set of eigenvalues of the entire monodromies. This agrees with the recent result that a compact high genus linear finite type CMC surface necessarily factors through a branched covering of a torus. We introduce a sequence of Abel-Jacobi maps defined by the periods of conservation laws. For the class of deformations of CMC surfaces which scale the Hopf differential by a real parameter, we compute the first order truncated Picard-Fuchs equation. The resulting formulae for the first few terms exhibit a similarity with the Griffiths transversality theorem for variation of Hodge structures.

研究の動機と目的

• 3次元空間形式内のCMC曲面の外微分系に対する高次の無限列の対称性および保存則を特定すること。
• CMC系の文脈においてネーターの定理を用いて、対称性と保存則の間の標準的同型を確立すること。
• スペクトル対称性を組み込んだ可積分拡張を構築し、関連する保存則がこの非局所的対称性に関して斉次的であることを示すこと。
• ホフフ微分をスケーリングする変形における保存則の周期の変動を分析し、切断されたピカード＝フックス方程式を導出すること。
• 保存則の周期を用いてアーベル＝ジャコビ写像を定義し、それらを有限型CMC曲面のスペクトル曲線およびモノドロミーの可換性に関連付けること。

提案手法

• ループ代数値形式キリング場に基づく強化された延長モデルを用いて、高次の対称性および保存則を体系的に生成する。
• 保存則を1形式として構成するための微分代数的再帰関係を導出するが、一般に特異点を有する umbilic 点で特異となる。
• 特徴的コhomology理論を適用し、保存則がCMC系の文脈において2次的特徴的類を表すことを示す。
• 非局所的対称性としてのスペクトル対称性を導入し、この対称性を延長フレームワークに組み込む可積分拡張を構築する。
• ${\mathfrak{sl}}(2,\mathbb{C})$-接続の平坦性とモノドロミーの可換性を用いて、コンパクトな線形有限型CMC曲面に対して1つのスペクトル曲線を定義する。
• 保存則の周期からアーベル＝ジャコビ写像を構築し、ホフフ微分のスケーリングにおける1階切断ピカード＝フックス方程式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3次元空間形式内のCMC外微分系に対して、高次の無限列の対称性および保存則を体系的に生成する方法は何か？
• RQ2 CMC系において、対称性と保存則の正確な関係は何か？また、この文脈でネーターの定理は成立するか？
• RQ3 非局所的対称性として定義されるスペクトル対称性は、保存則にどのように作用するのか？また、この対称性は斉次的保存則の生成に果たす役割は何か？
• RQ4 ホフフ微分をスケーリングする変形における保存則の周期の変動の幾何学的およびコホモロジー的意味は何か？
• RQ5 関連する平坦接続のモノドロミーは、コンパクトな線形有限型CMC曲面に対して1つのスペクトル曲線の存在にどのように関係するか？

主な発見

• 本稿は、高次の保存則の無限列が微分代数的再帰関係によって生成されることを証明し、これらの保存則が umbilic 点で特異となる1形式として表現されることを示している。
• CMC系においてネーターの定理が成立し、対称性と保存則の間の標準的同型が確立されている。
• スペクトル保存則は、2次的特徴的類としてのコホモロジー類として存在し、関連する保存則は一般化されたスペクトル対称性に関して斉次的である。
• 任意の genus を持つコンパクトな線形有限型CMC曲面に対して、関連する平坦な ${\mathfrak{sl}}(2,\mathbb{C})$-接続のモノドロミーは可換であり、すべてのモノドロミーの固有値の完備化として1つのスペクトル曲線を定義可能である。
• ホフフ微分のスケーリングにおける周期の変動に対する1階切断ピカード＝フックス方程式は、$[\psi_j]$ が $[\varphi_0], \dots, [\varphi_{j-2}]$ の張る空間に含まれるという構造を示し、グリフィスの横断性に類似した性質を示している。
• 1次変分の1形式 $\psi_1, \psi_2$ の特徴的コホモロジー類が計算された：$[\psi_1] = 0$ および $[\psi_2] = 6i[\varphi_0]$ であり、変形における変動次数の有界性に関する予想を支持する。