[論文レビュー] Conservative discrete time-invariant systems and block operator CMV matrices

Yury Arlinskii̇̆|ArXiv.org|Aug 12, 2008

Matrix Theory and Algorithms参考文献 8被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、Schurパramータのみを用いて、演算子値のシュールクラス関数の単純な保存的実現を構築し、それに対応するユニタリ作用素がブロック作用素CMV行列の形を取ることを示している—これはスカラーCMV行列の一般化である。主な貢献は、完全非ユニタリな収縮作用素のための新しいモデルを、切断されたブロック作用素CMV行列を用いて構築し、シュールパラメータをユニタリ拡大および特性関数に直接結びつけることにある。

ABSTRACT

It is well known that an operator-valued function $Θ$ from the Schur class ${\bf S}(\mathfrak M,\mathfrak N)$, where $\mathfrak M$ and $\mathfrak N$ are separable Hilbert spaces, can be realized as the transfer function of a simple conservative discrete time-invariant linear system. The known realizations involve the function $Θ$ itself, the Hardy spaces or the reproducing kernel Hilbert spaces. On the other hand, as in the classical scalar case, the Schur class operator-valued function is uniquely determined by its so called "Schur parameters". In this paper we construct simple conservative realizations using the Schur parameters only. It turns out that the unitary operators corresponding to the systems take the form of five diagonal block operator matrices, which are the analogs of Cantero--Moral--Velázquez (CMV) matrices appeared recently in the theory of scalar orthogonal polynomials on the unit circle. We obtain new models given by truncated block operator CMV matrices for an arbitrary completely non-unitary contraction. It is shown that the minimal unitary dilations of a contraction in a Hilbert space and the minimal Naimark dilations of a semi-spectral operator measure on the unit circle can also be expressed by means of block operator CMV matrices.

研究の動機と目的

• 演算子値シュールクラス関数のシュールパラメータのみを用いて、単純な保存的離散時間不変系を直接構成すること。
• スカラーCMV行列構造を多変数および作用素値設定に一般化し、ブロック作用素行列を導出すること。
• 切断されたブロック作用素CMV行列を用いて完全非ユニタリな収縮作用素のモデルを確立すること。
• 収縮作用素の最小ユニタリ拡大および半スペクトル測度の最小ナイマーク拡大を、ブロック作用素CMV行列の形で表現すること。
• 新しいCMVベースのモデルを用いて、与えられた純粋に収縮的なシュールクラス関数を特性関数とする完全非ユニタリな収縮作用素の存在を再証明すること。

提案手法

• シュールパラメータ {Γₙ*}ₙ≥₀ を用いてヒルベルト空間とその上でのユニタリ作用素を構成し、ブロック作用素CMV行列構造を形成する。
• 収縮作用素の特性関数のモデルとして、切断されたブロック作用素CMV行列 T₀({Γₙ*}ₙ≥₀) と T̃₀({Γₙ*}ₙ≥₀) を定義する。
• 収縮作用素 T のユニタリ拡大を用いて、その特性関数をブロック作用素CMV行列構造を持つ保存的系の伝達関数として実現する。
• ナイマーク拡大定理を適用し、単位円上の半スペクトル作用素測度をブロック作用素CMV行列を介して表現する。
• ブロック作用素CMV行列から構築された保存的系の伝達関数が、元のシュールクラス関数と一致することを確立する。
• ユニタリ交換子および欠損作用素を用いて、切断されたブロック作用素CMV行列 T₀({Γₙ*}ₙ≥₀) の特性関数が元のシュールクラス関数 Θ(λ) に等しいことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シュールクラス関数のシュールパラメータのみを用いて、ハーディー空間や再生核空間に依存せずに、その保存的実現を構築できるか？
• RQ2 このような実現に対応するユニタリ作用素の構造は何か？ また、スカラーCMV行列にどのように一般化されるか？
• RQ3 切断されたブロック作用素CMV行列は、完全非ユニタリな収縮作用素をどのようにモデル化できるか？
• RQ4 収縮作用素の最小ユニタリ拡大は、ブロック作用素CMV行列で表現できるか？
• RQ5 単位円上の半スペクトル作用素測度のナイマーク拡大は、ブロック作用素CMV行列で表現できるか？

主な発見

• シュールクラス関数 Θ ∈ S(M,N) に対応するユニタリ作用素は、Θ のシュールパラメータのみを用いて構築されたブロック作用素CMV行列として実現可能である。
• 切断されたブロック作用素CMV行列 T₀({Γₙ*}ₙ≥₀) の特性関数は、元のシュールクラス関数 Θ(λ) に等しく、パラメータとシステム挙動の直接的な関連を確立する。
• 完全非ユニタリな収縮作用素 T の最小ユニタリ拡大は、T の特性関数のシュールパラメータから構築されたブロック作用素CMV行列 T₀({Γₙ*}ₙ≥₀) とユニタリ同値である。
• 単位円上の半スペクトル作用素測度の最小ナイマーク拡大は、ブロック作用素CMV行列として実現可能であり、モデルを作用素測度へと拡張する。
• 純粋に収縮的なシュールクラス関数に対しては、ブロック作用素CMV行列モデルを用いて、その関数を特性関数とする完全非ユニタリな収縮作用素の存在が再証明された。
• ブロック作用素CMV行列構造から構築された保存的系の伝達関数は、元のシュールクラス関数と一致し、実現の正しさを確認する。