[論文レビュー] Conservative methods for stochastic differential equations with a conserved quantity

Chuchu Chen, David Cohen+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 6, 2014

Stochastic processes and financial applications被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、ストラトノヴィッチ型確率微分方程式（SDE）に対して、スカラー保存量を保存する新しい保存的数値解法を提案する。この手法は、可換ノイズ下で均乗誤差の収束次数1を達成し、一般には弱収束次数1を達成する。収束解析は、数値積分公式の効果および分割に基づく合成スキームを含むように拡張されている。

ABSTRACT

This paper proposes a novel conservative method for numerical computation of general stochastic differential equations in the Stratonovich sense with a conserved quantity. We show that the mean-square order of the method is $1$ if noises are commutative and that the weak order is also $1$. Since the proposed method may need the computation of a deterministic integral, we analyse the effect of the use of quadrature formulas on the convergence orders. Furthermore, based on the splitting technique of stochastic vector fields, we construct conservative composition methods with similar orders as the above method. Finally, numerical experiments are presented to support our theoretical results.

研究の動機と目的

• 一般のストラトノヴィッチ型SDEに対して、スカラー保存量を正確に保存する数値解法を開発すること。
• 提案された保存的スキームの均乗収束次数および弱収束次数を、特に可換ノイズ下で分析すること。
• 数値積分公式が保存量の離散的保存性および収束次数に与える影響を調査すること。
• 確率的ベクトル場の分割技術を用いて、保存的合成スキームを構築すること。
• 周期的ロトカ・ヴォリエッパー系などのベンチマークSDEを用いて、理論的収束次数および保存性を数値的に検証すること。

提案手法

• SDEのスケュー・グラディエント形式を用いて、保存量の勾配に基づいて駆動項および拡散係数を表現する。
• 時間刻み幅にわたりスケュー・グラディエント構造を統合することで、離散的に保存量 $ I(x) $ を正確に保存する、新規の保存的スキームを構築する。
• 数値積分公式を用いてスキームに生じる確定的積分を近似する際の収束解析を実施し、積分公式の次数が2より大きい場合、収束次数が保たれることを示す。
• 確率的ベクトル場をより単純な成分に分解するための分割技術を適用し、類似した収束次数を持つ合成スキームの構築を可能にする。
• 対のインデックスに関連する基本的スキームの対称的合成を用いることで、均乗および弱両意味で次数1を達成する合成スキームを構築する。
• 既知の保存量と高次スキームで計算された参照解を用いて、理論的収束性を数値的に検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般のストラトノヴィッチ型SDEに対して、スカラー保存量を正確に保存しつつ、高い収束次数を維持する数値解法を設計可能か？
• RQ2 可換ノイズ下での提案スキームの均乗収束次数は何か？
• RQ3 非可換ノイズ下でのスキームの弱収束次数は何か？
• RQ4 数値積分公式の選択が収束次数および保存量の離散的保存性に与える影響は何か？
• RQ5 分割技術を用いて、このようなSDEに対して高次保存的合成スキームを構築可能か？

主な発見

• 提案された保存的スキームは、ノイズが可換である場合、均乗収束次数1を達成する。
• ノイズの可換性を仮定しない一般の場合でも、弱収束次数1を達成する。
• 確定的積分の計算に用いられる数値積分公式の次数が2より大きい場合、スキームの均乗および弱収束次数は依然として1のまま保たれる。
• 離散的保存量は数値スキームによって正確に保存され、幾何的構造を保存する性質が裏付けられる。
• 確率的ベクトル場の分割に基づく合成スキームも、可換ノイズ下では均乗次数1、一般には弱次数1を達成する。
• 確率的周期的ロトカ・ヴォリエッパー系に対する数値実験により、理論的収束次数が確認され、均乗誤差および弱誤差の対数プロットでは両者とも勾配が1となることが示された。