[論文レビュー] Conservative Moment Equations for Neutrino Radiation Transport with Limited Relativity

Eirik Endeve, Christian Y. Cardall+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 17, 2012

Gamma-ray bursts and supernovae参考文献 12被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、限界的相対性理論のもとで、コア崩壊超新星におけるニュートリノ輸送の保存的で多次元的かつエネルギー依存のモーメント方程式を導出する。四元運動量とレプトン数の整合的保存に注目し、エネルギー、運動量、レプトン数が流体速度の所定期数に一致するように保証する2つの自己一貫的$$\mathcal{O}(v)$$形式—「プラス」および「マイナス」—を導入することで、ニュートリノ駆動型超新星爆発のより高精度なシミュレーションが可能になる。

ABSTRACT

We derive conservative, multidimensional, energy-dependent moment equations for neutrino transport in core-collapse supernovae and related astrophysical systems, with particular attention to the consistency of conservative four-momentum and lepton number transport equations. After taking angular moments of conservative formulations of the general relativistic Boltzmann equation, we specialize to a conformally flat spacetime, which also serves as the basis for four further limits. Two of these---the multidimensional special relativistic case, and a conformally flat formulation of the spherically symmetric general relativistic case---are given in appendices for the sake of comparison with extant literature. The third limit is a weak-field, `pseudo-Newtonian' approach \citep{kim_etal_2009,kim_etal_2012} in which the source of the gravitational potential includes the trace of the stress-energy tensor (rather than just the mass density), and all orders in fluid velocity $v$ are retained. Our primary interest here is in the fourth limit: `$\mathcal{O}(v)$' moment equations for use in conjunction with Newtonian self-gravitating hydrodynamics. We show that the concept of `$\mathcal{O}(v)$' transport requires care when dealing with both conservative four-momentum and conservative lepton number transport, and present two self-consistent options: `$\mathcal{O}(v)$-plus' transport, in which an $\mathcal{O}(v^2)$ energy equation combines with an $\mathcal{O}(v)$ momentum equation to give an $\mathcal{O}(v^2)$ number equation; and `$\mathcal{O}(v)$-minus' transport, in which an $\mathcal{O}(v)$ energy equation combines with an $\mathcal{O}(1)$ momentum equation to give an $\mathcal{O}(v)$ number equation.

研究の動機と目的

• コア崩壊超新星における限界的相対性近似下での保存的で多次元的かつエネルギー依存のニュートリノ輸送モーメント方程式の開発。
• 数値シミュレーションにおける四元運動量とレプトン数の整合的保存を保証すること。これは、ニュートリノ駆動型爆発の正確なモデリングに不可欠である。
• 従来の形式において、非保存的エネルギーおよび運動量方程式が総エネルギーとレプトン数を保存しないという矛盾を解消すること。
• エネルギー、運動量、数のすべての式で保存性を維持する2つの自己一貫的$$\mathcal{O}(v)$$輸送スキーム—「プラス」と「マイナス」—を提示すること。
• ニュートリノ動力学に相対論的補正を$$\mathcal{O}(v)$$まで含めたニュートン流体力学における、堅牢で高精度なニュートリノ輸送シミュレーションの基盤を提供すること。

提案手法

• 共形的に平坦な時空における一般相対論的ボルツマン方程式の角モーメントを取ることでモーメント方程式を導出する。
• 一般形式を4つの極限に特化する：多次元特殊相対性理論、球対称一般相対性理論、弱場「擬ニュートン」的アプローチ、および主な焦点であるニュートン流体力学との組み合わせにおける$$\mathcal{O}(v)$$輸送。
• 2つの自己一貫的形式を導入する：「プラス」（$$\mathcal{O}(v^2)$$エネルギー + $$\mathcal{O}(v)$$運動量 → $$\mathcal{O}(v^2)$$数）および「マイナス」（$$\mathcal{O}(v)$$エネルギー + $$\mathcal{O}(1)$$運動量 → $$\mathcal{O}(v)$$数）。
• 時間、空間、幾何的微分の源項が方程式全体で相殺されることにより保存性を保証し、エネルギー、運動量、数のフラックス間の一貫性を維持する。
• 同じフレームワークを用いてニュートリノ数密度の保存的時間発展方程式を導出し、離散数値スキームにおけるレプトン数保存を保証する。
• 既存の形式（例：MJD10）と比較することで手法を検証し、非保存的形は速度依存の源項が重力や相互作用が存在しない場合でも消えないため、エネルギーとレプトン数を保存しないことが示された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多次元的かつエネルギー依存のシミュレーションにおいて、四元運動量とレプトン数の整合的保存を保証しながら、ニュートリノ輸送の保存的モーメント方程式をどのように導出できるか？
• RQ2 エネルギーおよび運動量の非保存的形式がニュートリノ輸送に用いられた場合、エネルギーおよびレプトン数の保存にどのような影響を与えるか？
• RQ3 ニュートン流体力学に$$\mathcal{O}(v)$$の相対論的補正を保存則を破らない形で一貫的に組み込むにはどうすればよいか？
• RQ4 2つの自己一貫的$$\mathcal{O}(v)$$形式—「プラス」と「マイナス」—とは何か？それらはエネルギー、運動量、数の式においてどのように次数の精度が異なるか？
• RQ5 離散的数値形式において、エネルギーおよびレプトン数の保存が保たれるために満たすべき条件は何か？

主な発見

• 本稿は、共形的に平坦な時空におけるニュートリノ輸送の保存的モーメント方程式を導出し、特にニュートン流体力学に適した$$\mathcal{O}(v)$$極限に注目している。
• 2つの自己一貫的形式が提示されている：「プラス」輸送ではエネルギー方程式が$$\mathcal{O}(v^2)$$、数の方程式が$$\mathcal{O}(v^2)$$であり、「マイナス」輸送ではエネルギーおよび数の方程式が両方とも$$\mathcal{O}(v)$$である。
• 保存的エネルギーおよび運動量方程式（式B2およびB3）が、時間、空間、幾何的源項の微分項が相殺されることで、保存的数の方程式（式B5）と一貫していることが示された。
• 非保存的形式、例えばMJD10で用いられる形式は、重力や相互作用が存在しない場合でも消えない速度依存の源項を持つため、エネルギーおよびレプトン数を保存しない。
• エネルギー方程式と数の方程式の関係は単純である：$$\mathcal{J} = \epsilon \mathcal{J}_{\scriptscriptstyle{\mathcal{N}}}$$であり、エネルギーと数の両方の保存が必要な場合、数値的実装が簡素化される。
• これらの結果は、多次元的ニュートリノ輸送シミュレーションにおいてエネルギーとレプトン数を同時に保存する数値スキームを構築するための厳密な基盤を提供する。これは、コア崩壊超新星の正確なモデリングに不可欠である。